第一章 勾股定理 专题五 课标新导向-【教与学·学导练】2023-2024学年八年级上册数学同步课件PPT（北师大版）

数 学 教与学 学导练 教与学·学导练·数学·八年级·上册·配北师大版（章节专题提升） ·章节专题提升· 第一章 勾股定理 专题五 课标新导向 教材母题 【例】（课本P18第11题）如图Z1－5－1，一部云梯长AB＝25 m，斜靠在一面墙上，梯子的底部离墙CB＝7 m． （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑4 m， 那么梯子的底部在水平方向向 右边滑动了4 m吗？为什么？ 【思路点拨】（1）根据梯子、墙、地面正好构成直角三角形，利用勾股定理即可得出AC的长；（2）由于梯子的长度不变，根据梯子的顶端下滑4 m求出A′C的长度，再根据勾股定理求出B′C的长，进而得出BB′的长． 解：（1）因为梯子、墙、地面正好构成直角三角形， AB＝25 m，CB＝7 m， 所以AC＝＝＝24（m）. （2）不是．理由：因为A′C＝24－4＝20， A′B′＝AB＝25，所以B′C＝＝15， B′B＝B′C－BC＝15－7＝8（m）. 所以梯子底部在水平方向向右边滑动了8 m， 而不是4 m． 1. （母题变式）如图Z1－5－2，一架长2.5 m的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙0.7 m，为了安装壁灯，梯子顶端离地面2 m， 请你计算一下，此时梯子底 端应再向远离墙的方向拉多远？ 解：如答图Z1－5－1. 在Rt△DCE中， 因为DE＝AB＝2.5 m，CD＝2 m， 所以CE＝＝＝1.5(m)． 所以BE＝CE－BC＝1.5－0.7＝0.8(m)． 所以梯子底端B应再向左拉0.8 m． 跨学科融合 2. （勾股定理与物理融合）如图Z1－5－3，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度为0.6 m，将秋千AD往前推送3 m，到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为1.6 m，秋千的绳索始终保持拉直的状态． （1）根据题意，BF＝______m， BC＝______m，CD＝______m； 1.6 3 1 （2）根据（1）中求得的数据，求秋千的长度； （3）如果想要踏板离地的垂直高度为2.6 m时，需要将秋千AD往前推送______m． 解：（2）因为BC⊥AC，所以∠ACB＝90°. 设秋千的长度为x m， 则AB＝AD＝x m，AC＝AD－CD＝（x－1） m. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AC2＋BC2＝AB2， 即（x－1）2＋32＝x2. 解得x＝5. 答：秋千的长度是5 m. 4 3. （勾股定理与地理、物理融合）如图Z1－5－4，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船沿北偏东38°方向航行，乙船以12海里/时速度沿南偏东52°方向航行，2 h后，甲船到达C岛，乙船到达B岛． 若C，B两岛相距40海里， 问：甲船的航速是多少？ 解：因为甲船沿北偏东38°方向航行，乙船沿南偏东52°方向航行， 所以∠CAB＝90°. 因为AB＝12×2＝24(海里)，BC＝40海里， 所以AC＝＝32(海里). 所以甲船的航速是32÷2＝16(海里/时). 答：甲船的航速是16海里/时． 数学文化 4. 三国时期，魏国数学家刘徽为古籍《九章算术》作注释时，指出用“出入相补法”验证勾股定理，如图Z1－5－5所示，请加以说明． 解：观察图形可知， S正方形AEHI＝4S△ABE＋边长为 （b－a）的正方形的面积， 所以c2＝4×2ab＋b2－2ab＋a2. 所以c2＝a2＋b2． 5. （2022陕西）我国三国时期的杰出数学家赵爽在注解《周髀算经》时，巧妙地运用弦图证明了勾股定理．如图Z1－5－6，在10×15的正方形网格中，将弦图ABCD放大，使点A，B，C，D的对应点分别为A′，B′，C′，D′． （1）A′C′与AC的比值 为______； （2）补全弦图A′B′C′D′． 2 解：（2）补全弦图A′B′C′D′如答图Z1－5－2. 实践探究 6. （1）探索：请你利用图Z1－5－7①验证勾股定理； （2）应用：如图Z1－5－7②，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，分别以AC，BC为直径作半圆，面 积分别记为S1，S2，则S1＋S2的值等于______（请直接写出结果）； （3）拓展：如图Z1－5－7③所示，MN表示一条铁路，A，B是两个城市，它们到铁路所在直线MN的垂直距离分别为AC＝40 km，BD＝60 km，且CD＝80 km.现要在CD之间设一个中转站O，求出O应建在离C点多少千米处，才能使它到A，B两个城市的距离相等． 解：（1）因为（a＋b）（a＋b）＝2×ab＋c2， 所以（a＋b）（a＋b）＝2ab＋c2. 所以a2＋2ab＋b2＝2ab＋c2. 所以a2＋b2＝c2. （3）设CO＝x km，则OD＝（80－x） km． 因为