第一章 勾股定理 专题四 模型拓展-【教与学·学导练】2023-2024学年八年级上册数学同步课件PPT（北师大版）

数 学 教与学 学导练 教与学·学导练·数学·八年级·上册·配北师大版（章节专题提升） ·章节专题提升· 第一章 勾股定理 专题四 模型拓展——勾股定理模型 模型一：翻折勾股模型 模型图示： (a－x)2＋b2＝x2 (a－x)2＋b2＝x2 (c－b)2＋x2＝(a－x)2 (a－x)2＝b2＋x2 (a－x)2＝b2＋x2 1. 有一张直角三角形纸片. （1）如图Z1－4－1①，若两直角边AC＝6，BC＝8，将直角边AC沿直线AD折叠，使AC恰好在斜边AB上，且点C与点E重合，求CD的长； （2）如图Z1－4－1②，若D是BC的中点，请判断AB2＋3AC2与4AD2是否相等，并说明理由. 解：（1）在图Z1－4－1①中， AC＝AE＝6，CD＝DE，∠ACD＝∠AED＝90°. 设CD＝DE＝x，则BD＝8－x. 在Rt△ACB中，AB＝＝10， 所以BE＝10－6＝4. 在Rt△DEB中，因为DE2＋EB2＝BD2， 所以x2＋42＝（8－x）2. 解得x＝3. 所以CD＝3. （2）相等，理由如下： 在图Z1－4－1②中， 因为∠C＝90°， 所以AB2＝AC2＋BC2，CD2＝AD2－AC2. 因为D是BC的中点， 所以BC＝2CD. 所以AB2＝AC2＋4CD2＝AC2＋4（AD2－AC2）. 所以AB2＝AC2＋4AD2－4AC2. 所以AB2＋3AC2＝4AD2． 模型二：378和578模型 模型图示：如图Z1－4－2，当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时，①两个三角形的面积分别为6，10; ②边3，8与边5，8的夹角 都是60°. 总结：如图Z1－4－2，观察这两个三角形，得这两个三角形的高相等，且有两边相等.如图Z1－4－3，将这个三角形拼在一起后构成一个边长为8的等边三角形，且该等边三角形的高即为这两个三角形的高. 2. 如图Z1－4－4，在△ABC中，AB＝7， AC＝8，BC＝5，求∠C的度数. 解：如答图Z1－4－1，过点A作AD⊥BC于点D. 设CD＝x，则BD＝BC－CD＝5－x. 在Rt△ABD中，由勾股定理, 得AD2＝AB2－BD2. 在Rt△ACD中，由勾股定理, 得 AD2＝AC2－CD2.所以AB2－BD2＝AC2－CD2， 即72－（5－x）2＝82－x2.解得x＝4. 所以CD＝4.所以CD＝AC．所以∠CAD＝30°. 所以∠C＝90°－30°＝60°. 模型三：共边勾股模型 模型图示： a2－b2＝m2－n2＝c2 a2－b2＝m2－n2＝c2 a2－b2＝m2－n2＝c2 a2－b2＝m2＋n2＝c2 a2－b2＝m2＋n2＝c2 3. 如图Z1－4－5,在△ABC中，AB＝2，BC＝6，AC＝5，求边BC上的高． 解：如答图Z1－4－2， 过点A作AD⊥BC于点D. 设BD＝x，则CD＝6－x. 因为AB2－BD2＝AD2＝AC2－CD2， 所以22－x2＝52－（6－x）2.解得x＝. 所以AD＝＝＝， 即边BC上的高是. 模型四：等腰勾股模型 模型图示： a2＋b2＝c2＝(m＋b)2 a2＋b2＝c2＝(m－b)2 (m＋a)2－a2＝b2 4. 如图Z1－4－6，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E.求CD的长． 解：如答图Z1－4－3，连接DB. 在△ACB中， 因为AB2＋AC2＝62＋82＝100，BC2 ＝102 ＝100， 所以AB2＋AC2＝BC2． 所以△ACB是直角三角形，∠A＝90°. 因为DE垂直平分BC， 通过证明△CED≌△BED可得DC＝DB． 设DC＝DB＝x，则AD＝8－x． 在Rt△ABD中，由勾股定理，得 AB2＋AD2＝BD2，即62＋（8－x）2＝x2. 解得x＝，即CD＝． 模型五：垂美模型 模型图示： a2＋d2＝b2＋c2 S四边形ABCD＝(AC·BD)÷2 a2＋d2＝b2＋c2 S四边形ABCD＝(AC·BD)÷2 垂美四边形：对角线互相垂直的四边形． 垂美结论：垂美四边形对边的平方和相等． 5. 对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”，如图Z1－4－7，在四边形ABCD中，若AC⊥BD，则AB2＋CD2＝AD2＋BC2．请判断小美同学的猜想是否正确，并说明理由. 解：猜想正确. 理由：因为在四边形ABCD中，AC⊥BD， 所以∠AOB＝∠COD＝∠BOC＝∠AOD＝90°. 所以AB2＝OA2＋OB2，CD2＝OC2＋OD2， BC2＝OB2＋OC2，AD2＝OA2＋OD2. 所以AB2＋CD2＝OA2＋OB2＋OC2＋OD2， BC2＋AD2＝OB2＋OC2＋O