第一章 勾股定理 专题三 本章创新考点-【教与学·学导练】2023-2024学年八年级上册数学同步课件PPT（北师大版）

数 学 教与学 学导练 教与学·学导练·数学·八年级·上册·配北师大版（章节专题提升） ·章节专题提升· 第一章 勾股定理 专题三 本章创新考点 考点一：勾股数；直角三角形；整式 【例1】（创新题）已知：整式A＝（n2－1）2＋（2n）2，整式B＞0． 尝试化简整式A． 发现A＝B2，求整式B． 联想：由上可知，B2＝（n2－1）2＋（2n）2，当n＞1时，n2－1，2n，B为直角三角形的三边长，如图Z1－3－1．填写下表中B的值： 【思路点拨】先根据整式的混合运算法则求出A，进而求出B，再把n的值代入即可解答． 直角三角 形三边长 n2－1 2n B 勾股数组Ⅰ / 8 ______ 勾股数组Ⅱ 35 / ______ 17 37 解：A＝(n2－1)2＋(2n)2 ＝n4－2n2＋1＋4n2 ＝n4＋2n2＋1 ＝(n2＋1)2.因为A＝B2，B>0, 所以B＝n2＋1. 1.（创新变式）【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论．像3，4，5这样为三边长构成直角三角形的3个正整数，称为勾股数． 【应用举例】观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过， 当勾为3时，股4＝×(9－1)，弦5＝×(9＋1)； 当勾为5时，股12＝×(25－1)，弦13＝×(25＋1)； 当勾为7时，股24＝×(49－1)，弦25＝×(49＋1)． 请仿照上面三组样例，用发现的规律填空： （1）若勾用n（n≥3，且n为奇数）表示，请用含有n的式子表示股和弦，则股＝______________，弦＝ ____________； （n2－1） （n2＋1） 【问题解决】 （2）古希腊的哲学家柏拉图也提出了构造勾股数组的公式．具体表述如下：若a＝2m，b＝m2－1，c＝m2＋1（m为大于1的整数），则a，b，c为勾股数．请你证明柏拉图公式的正确性. 解：（2）因为a＝2m，b＝m2－1，c＝m2＋1（m表示大于1的整数）， 所以a2＋b2＝（2m）2＋（m2－1）2 ＝4m2＋m4－2m2＋1 ＝m4＋2m2＋1 ＝（m2＋1）2 ＝c2. 所以a2＋b2＝c2. 所以a，b，c为勾股数. 考点二：勾股定理的应用；数学常识；等腰三角形与直角三角形 【例2】（教材改编创新题）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三、股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图Z1－3－2①）， 后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．如图Z1－3－2①是用四个能够完全重合的直角三角形拼成的图形，其中直角边长分别为a，b，斜边长为c，用含a，b，c的代数式表示： （1）大正方形的面积为______________；小正方形的面积为___________； （a＋b）2 c2 【思路点拨】（1）根据正方 形的面积公式即可，得到结论； （2）根据三角形的面积公式和 勾股定理即可，得到结论；（3）根据勾股定理和圆的面积公式解答即可；（4）根据勾股定理和圆、三角形的面积公式解答即可． （2）四个直角三角形的面积和为_____，根据图中面积关系，可列出a，b，c之间的关系式为______________； （3）如图Z1－3－2②，以直角三角形的三边为直径，分别向外部作半圆，则S1，S2，S3满足的关系是______________； （4）如图Z1－3－2③直角三角形的两条直角边长分别为3，5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月形图案（阴影部分）的面积和为______． 2ab a2＋b2＝c2 S1＋S2＝S3 7.5 2.（教材创新变式）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图Z1－3－3①），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． （1）勾股定理的验证，人们已经找到了400多种方法，请从如图Z1－3－3所示几种常见的证明中任选一种来验证该定理； （2）如图Z1－3－4①②③，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1＋S2＝S3的有______个； 3 （3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图Z1－3－5①所示的“勾股树”．在如图Z1－3－5②所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，则a2＋b2＋c2＋d2＝______. m2 解：（