第一章 勾股定理 第4课时勾股定理的应用 (内文)-【教与学·学导练】2023-2024学年八年级上册数学同步课件PPT（北师大版）

数 学 教与学 学导练 教与学·学导练·数学·八年级·上册·配北师大版（内文） ·内 文· 第一章 勾股定理 第4课时 勾股定理的应用 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，则BC的长为( ) A．3 B．8 C．2 D．4 2．若三角形的三边长分别等于下列各组数，则能构成直角三角形的一组数是( ) A．1，2，3 B．2，3，5 C．5，12，13 D．6，8，12 D C 解决有关勾股定理的应用问题，要从实际问题中抽象出直角三角形，然后利用勾股定理，求出其中的未知量. 其一般依据：已知直角三角形的任意两边，利用勾股定理可以求出_________. 第三边 3.如图1－4－1，将一根长为8 cm（AB＝8 cm）的橡皮筋水平放置在桌面上，固定两端A和B，然后把中点C竖直地向上拉升3 cm至点D，则拉长后橡皮筋的长度为（ ） A. 8 cm B. 10 cm C. 12 cm D. 15 cm B 【例1】（课本P15习题）如图1－4－2，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问：这个水池水的深度和这根芦苇的长度各为多少？ 知识点1： 勾股定理的应用 思路点拨：设未知数表示水池水的深度 和芦苇的长度，再根据勾股定理列方程 即可解答. 解：设水池水的深度为x尺，根据勾股定理, 得x2＋(10÷2)2＝（x＋1）2. 解得x＝12.则x＋1＝13. 答：这个水池水的深度为12尺，这根芦苇的长度为13尺． 4. 如图1－4－3，某游泳池长48 m，小方和小杨进行游泳比赛，从同一处（点A）出发，小方的平均速度为 3 m/s，小杨为3.1 m/s．但小杨一心想快，不看方向沿斜线（AC方向）游，而小方直游（AB方向）， 两人到达终点的位置相距14 m．按各人的 平均速度计算，谁先到达终点，为什么？ 解：小方先到达终点. 理由：由题意可知，AB＝48 m，BC＝14 m. 在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋ BC2＝482＋142＝2 500. 所以AC＝50(m). 小方的用时是＝16（s）， 小杨的用时是＝16（s）. 因为16＜16， 所以小方用时少，即小方先到达终点． 【例2】（课本P13习题）如图1－4－4，有一个圆柱，它的高等于12 cm，底面上圆的周长等于18 cm．在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最 短路程是多少？ 知识点2： 最短路径问题（圆柱侧面展开） 思路点拨：根据题意得出蚂蚁沿圆柱 侧面爬行的最短路程，再根据勾股定 理求出最短路程即可． 解：如答图1－4－1，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指圆柱侧面展开后线段AB的长.由题意， 得AC＝12 cm，BC＝×18＝9(cm). 由勾股定理，得 AB2＝AC2＋BC2＝225.所以AB＝15(cm). 答：蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是15 cm． 5. 如图1－4－5，一个无盖圆柱形纸筒的底面周长是 60 cm，高是40 cm，一只小蚂蚁在纸筒底部的A处，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的蜜糖. （1）请你画出无盖圆柱形纸筒的侧面展 开图； （2）蚂蚁爬行的最短路程是多少？ 解：（1）如答图1－4－3. （2）如答图1－4－3，连接AB. 由题意, 得BC＝×60＝30(cm)，AC＝40 cm. 根据勾股定理, 得AB2＝AC2＋BC2＝2 500． 所以AB＝50(cm). 答：蚂蚁爬行的最短路程是50 cm． 【例3】（课本P15习题）如图1－4－6，一个无盖的长方体形盒子的长、宽、高分别为8 cm，8 cm，12 cm.一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？ 蚂蚁要爬行的最短路程是多少？ 知识点3： 最短路径问题（长方体侧面展开） 思路点拨：将长方形的盒子按不同方 式展开，得到不同的矩形，求出不同 矩形的对角线的长度，最短者即为正 确答案． 解：方案a，如答图1－4－2①.根据勾股定理, 得AB2＝122＋(8＋8)2＝400.所以AB＝20（cm）. 方案b，如答图1－4－2②.根据勾股定理, 得AB2＝82＋(8＋12)2＝464.因为400<464, 故蚂蚁爬行的最短路线为方案a, 即A→P→B（P为CD的中点）， 最短路程是20 cm． 6. （创新变式）如图1－4－7，一个放置在地面上的长方体，长为15 cm，宽为10 cm，高为20 cm，点B与点C的距离为5 cm.一只蚂蚁如果要沿着长 方体的表面从点A爬到点B，需要爬行 的最短距离是多少？ 解：方案①，如答图1－4－4