1.3勾股定理的应用 课时作业2024-2025学年北师大版数学八年级上册

北师大版八年级上册数学1.3勾股定理的应用 课时作业 一、单选题 1．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之，在《勾股》章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，间折者高几何？”翻译成数学问题；如图，在中，，，，若设，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．如图，有一圆柱，其高为，它的底面半径为，在圆柱下底而A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A相对的点B处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程为（　　）．（取3） A． B． C．4 D．3 3．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：  “今有方池一丈，葭生其中央，出水一 尺，引葭赴岸，适与岸齐．水深、葭长各几何？ ”．其大意是：如图，有一个水池，水面是 一个边长为 10 尺 (丈、尺是长度单位，1 丈＝10 尺) 的正方形，在水池正中央有一根芦苇， 它高出水面 1 尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水 的深度与这根芦苇的长度分别是多少？若设这跟芦苇的长度为 x 尺，根据题意，所列方程正 确的是(   ) A．102＋(x－1)2＝x2 B．102＋(x－1)2 ＝ (x＋1)2 C．52＋(x－1)2＝x2 D．52＋(x－1)2 ＝ (x＋1)2 4．如图所示，将一根长为24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在外面的长为hcm，则h的取值范围是（　　） A．0＜h≤11 B．11≤h≤12 C．h≥12 D．0＜h≤12 5．如图，矩形中，的平分线交于点E，，垂足为F，连接．下列结论：①；②；③；④；⑤若，则．其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．小彬用打印机制作了一个底面周长为、高为的圆柱粮仓模型（如图）．如图，是底面直径，是圆柱的高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过，两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（　　）    A． B． C． D． 7．如图，在灯塔O的东北方向8海里处有一轮船A，在灯塔的东南方向6海里处有一渔船B，则AB间的距离为（　　　） A．9海里 B．10海里 C．11海里 D．12海里 8．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是6cm，内壁高8cm．若这支铅笔长为18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（　　） A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm 二、填空题 9．如图，钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为．钓鱼者想看鱼钩上的情况，把钓鱼竿转到的位置，此时露在水面上的鱼线长为，则的长为 ． 10．如图，一根垂直于地面的竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，则竹子折断处离地面的高度是 尺（其中1丈尺）． 11．如图，一架10米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时为8米，如果梯子的底端外移2米到了处，则梯顶下滑的距离为 米． 12．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得米，若梯子的顶端沿墙下滑米，这时梯子的底端也恰好外移米，则梯子的长度为 米． 13．一根旗杆在离地面4.5 m的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部6 m外，则旗杆折断前的高度是 ． 三、解答题 14．某会展中心在会展期间准备将高、长、宽的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元？ 15．如图，一游船在水面上，河岸离水面的高度为5m工作人员站在岸边用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长BC为13m，工作人员以0.5m/s的速度拉绳子，10s后船移动到D点的位置（B，D，A三点在同一直线上），请你计算船向岸边移动的距离．（假设绳子是直的，结果保留根号） 16．数学综合实验课上，同学们在测量学校旗杆的高度的时候发现：将旗杆顶端升旗用的绳子垂到地面还多2米，当把绳子的下端拉开8米后，下端刚好接触到地面，且绳子处于绷直状态．根据以上数据，计算旗杆的高度和升旗用的绳子的长度． 17．在古城路灯改造中，如图，一架长25米的云梯，斜靠在路灯柱上，梯子底端D距离墙15米，按改造要求需要把C处灯具升高4米，（由于考虑安全因素，梯子底端距离墙不得少于8米，安装员上梯最高能摸到梯子顶端）.请你通过计算探求这架云梯能不能完成这次改造任务？    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A C B D C B A 1．D 【分析】根据勾股定理建立方程即可． 【详解】解： ，，， 设，则，则 故选D 【点睛】本题考查了勾股定理，根据勾股定理建立方程是解题的关键． 2．A 【分析】本题考查了平面展开图的最短路径问题，将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，再利用两点之间线段最短，结合勾股定理求出答案． 【详解】解：如图，即为蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线， 圆柱底面半径为， ， 又， ， 即蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程为． 故选A． 3．C 【分析】设这跟芦苇的长度为 x 尺，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：设这跟芦苇的长度为 x 尺，根据题意得： 52＋(x－1)2 ＝x2 故选：C 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键． 4．B 【分析】根据题意画出图形，先找出h的值为最大和最小时筷子的位置，再根据勾股定理解答即可． 【详解】解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大＝24﹣12＝12cm． 当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小， 如图所示： 此时，AB＝＝＝13cm， ∴h＝24﹣13＝11cm． ∴h的取值范围是11cm≤h≤12cm． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用问题，解答此题的关键是根据题意画出图形找出何时h有最大及最小值，同时注意勾股定理的灵活运用，有一定难度． 5．D 【分析】根据AE平分∠DAE，可得， 从而得到AB=BE，进而得到，可得①正确；然后证明△ABE≌△AFD，可得AB=BE=AF=FD，从而得到∠AED=∠CED，故②正确；再证得△DEF≌△DEC，可得③正确；再根据△ABF≌△DCF，可得BF=CF，故④正确；过点F作FG⊥BC于点G，可得，从而得到，进而得到，可得⑤正确；即可求解． 【详解】解：在矩形中，∠BAD=∠ADC=∠ABC=90°，AD=BC，AD∥BC， ∵AE平分∠DAE， ∴， ∵AD∥BC， ∴∠DAE=∠AEB=45°， ∴∠AEB=∠BAE=45°， ∴AB=BE， ∴， ∵， ∴AE=AD，故①正确； 在△ABE和△AFD中， ∵∠BAE=∠DAE，∠ABE=∠AFD，AE=AD， ∴△ABE≌△AFD（AAS）， ∴BE=DF， ∴AB=BE=AF=FD， ∴， ∴∠AED=∠CED，故②正确； ∵∠DAE=45°，DF⊥AE， ∴∠ADF=45°， ∴∠CDF=45°，∠EDF=∠ADE-∠ADF=22.5°， ∴∠CDE=∠FDE=22.5°， ∵∠AEB=45°，∠AED=67.5°， ∴∠CED=67.5°， ∴∠AED=∠CED， ∵DE=DE， ∴△DEF≌△DEC， ∴DF=CD， ∴DE⊥CF，故③正确； ∵AB=CD，∠BAE=∠CDF=45°，AF=DF， ∴△ABF≌△DCF， ∴BF=CF，故④正确； 如图，过点F作FG⊥BC于点G， ∴FG∥AB， ∴∠EFG=∠BAE=45°， ∴∠EFG=∠FEG， ∴FG=GE， ∵△DEF≌△DEC， ∴CE=EF， ∴， ∴， ∵BF=CF， ∴BG=CG， ∴， ∵AB=1，， ∴，， 解得：， ∴．故⑤正确； ∴正确的有5个． 故选：D 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 6．C 【分析】本题考查了勾股定理的应用；把圆柱沿高在平面内展开，利用勾股定理即可求解． 【详解】如图，圆柱的侧面展开图为长方形，，且点为的中点， ，， 装饰带的长度， 故选：． 7．B 【分析】由题意可知东北方向和东南方向间刚好是一直角，利用勾股定理解图中直角三角形即可． 【详解】解：已知东北方向和东南方向刚好是一直角，∴∠AOB=90°， 又∵OA=8海里，OB=6海里，∴AB=（海里）． 故选：B． 【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的应用，正确运用勾股定理,善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 8．A 【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC的长度．然后求其差．此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的最短长度是解决问题的关键． 【详解】解：如图： 根据题意可得图形： 在中：， 所以． 则这只铅笔在笔筒外面部分长度在之间． 观察选项，只有选项A符合题意． 故选：A． 9． 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，解题的关键是利用数形结合的思想并掌握勾股定理．在和中分别利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：在中，，， 根据勾股定理得， 在中，m，m， 根据勾股定理得， ， ∴， 故答案为：． 10．// 【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面的高度是尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可． 【详解】解：1丈尺， 设折断处离地面的高度为尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得： 解得：． 答：折断处离地面的高度为尺． 故答案为：． 11．2 【分析】根据题意，将梯子下滑的问题转化为直角三角形的问题解答． 【详解】解：在中，米，米， 由勾股定理得：， ∵外移2米，则米，米， 由勾股定理得：米， 米， 下滑为2米； 故答案为：2. 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，注意梯子的长度不变进而求出是解题关键． 12． 【分析】本题考查勾股定理的应用，设，则，巧用梯子的长不变，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：米， ∴米， 设，则， 在中，， 在中，， ∵， ∴，即：， 解得：， ∴米， ∴米． 故答案为：． 13．12米 【详解】解：如图所示，AC=6米，BC=4.5米， 由勾股定理得，AB= =7.5（米）． 故旗杆折断前高为：4.5+7.5=12（米）． 故答案为：12米． 14．1020 【分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即与的和，在直角中，根据勾股定理即可求得的长，地毯的长与宽的积就是面积，再乘地毯每平方米的单价即可求解． 【详解】解：由勾股定理得， 则地毯总长为， 则地毯的总面积为（平方米）， 所以铺完这个楼道至少需要（元）． 故答案为：1020． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键． 15．m 【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD=AB-AD可得BD长． 【详解】解：在中，，m，m， m， 此人以0.5m/s的速度收绳，10s后船移动到点D的位置， m， m， m． 答：船向岸边移动了m． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 16．旗杆的高度为15m，升旗用的绳子的长度为17m． 【详解】试题分析：由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答． 试题解析：设旗杆的长度为x米，则绳子的长度为：（x+2）m， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+82=（x+2）2， 解得：x=15， x+2=17． 答：旗杆的高度为15m，升旗用的绳子的长度为17m． 考点：勾股定理的应用． 17．这架云梯不能完成这次改造任务. 【分析】在直角三角形中，利用勾股定理即可求出的长；再在直角三角形中，利用勾股定理即可求出的长，与梯子底端距离墙不得少于8米比较得出结论. 【详解】（1）如图，∵由题意得，， ∴路灯C距离地面高度 ∵路灯需升高4米，即改造后路灯距离地面的高度米 ∴， ∴由于考虑安全因素，这架云梯不能完成这次改造任务.    【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$