第一章 空间向量与立体几何（章末总结）-2023-2024学年高二数学教材配套教学精品课件（人教A版2019选择性必修第一册)

章末总结 第 一 章空间向量与立体几何 人教A版2019选修第一册 01知识结构 PART ONE 思维导图 知识结构 加法、减法、数乘运算 减法：三角形法则 加法：三角形法则或平行四边形法则 数乘：ka，k为正数,负数,零 运算律 加法交换律 数乘分配律 加法结合律 线性运算 知识结构 空间中的两个非零向量，，定义||||cos θ为，的数量积·. 空间向量的数量积 数量积 数量积的性质 ①⊥⇔·＝0;　 ②·＝||||cos〈，〉＝||2＝2; ③ 零向量与任意向量的数量积为0，即·＝0; ④ |·|≤||·||. ⑤cos〈，〉= 证明两个向量垂直 求模长 夹角公式 知识结构 四点共面 知识结构 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量． 线线平行 l1∥l2⇔_________⇔____________________ 线面平行 l1∥α⇔______________⇔________________ 面面平行 α∥β⇔______________⇔________________ 线线垂直 l1⊥l2⇔_____________⇔________________ 线面垂直 l1⊥α⇔______________⇔________________ 面面垂直 α⊥β⇔______________⇔_____________ 平行、垂直 知识结构 1.点到直线的距离（勾股定理）-平行线间的距离 2.点P到平面α的距离-平行线面、平行平面间的距离 距离问题 P A Q D A Q P 法1 法2 等体积法 知识结构 夹角问题 线线角θ： 线面角θ： 面与面的夹角θ： 02用空间向量研究问题 PART ONE 知识应用 1.已知空间向量 ，则 =__________； 向量 与的夹角为___________. 解析 由 ，则=(3,0,3)，所以 =， ==，所以向量与的夹角为 . 1.空间向量的运算 ABC 知识应用 1.空间向量的运算 知识应用 2.　空间向量解决线面位置关系问题 1.如图，由直三棱柱ABC-A1B1C1和四棱锥D-BB1C1C构成的几何体中，∠BAC=，AB=1,BC=BB1=2, C1D=CD=平面CC1D 平面ACC1A1 （1）求证：AC DC1； （2）若M为 DC1中点，求证：AM//平面DBB1； 解：（1） 在直三棱柱ABC-A1B1C1中， CC1 平面ABC，又AC 平面ABC，∴CC1 AC ， ∵平面CC1D 平面ACC1A1,且平面 CC1D 平面ACC1A1=CC1， 又AC 平面 ACC1A1,∴AC 平面CC1D， 又 DC1 平面CC1D，∴AC DC1 知识应用 （2）直三棱柱ABC-A1B1C1中，∵AA1平面A1B1C1，而A1B1,A1C1 平面A1B1C1,∴AA1，AA1又∠BAC=， 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，C(2,,0),C1(0,,0),B(2,0,1),B1(0,0,1),D(1,,2) 所以，,-1) 设平面DBB1 的一个法向量为，则， 即，令y=1，则(0,1,， ∵M为DC1的中点，则M()，所以， 因为，所以，又 AM平面DBB1，∴AM//平面DBB1. 知识应用 2. 如图所示，已知平面，四边形为矩形，，，分别为，的中点.求证： （1） //平面； （2） 平面平面. 设，则，，， ，，因为分别为的中点， 所以. 解： 如图所示，以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系. 知识应用 所以，，， 所以. 又因为平面，所以平面. （2） 由（1）可知，，. 设平面的法向量为， 则即 知识应用 令，得，， 则. 设平面的法向量为， 则即 令，得，，则. 所以， 所以平面平面. 知识应用 1.某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E、F、G分别是正方形的三边AB、CD、AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB、CG就得到了一个“刍甍”（如图2）． (1)若O是四边形EBCF对角线的交点， 求证：AO//平面GCF； (2)若二面角A-EF-B是直二面角，求点B到平面GCF的距离． 3.空间向量解决距离问题 知识应用 (1)证明：取线段CF中点H，连接OH、GH，由图1可知，四边形EBCF是矩形，且CB=2EB， ∴O是线段BF与CE的中点，∴ OH//BC且OH=，在