2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系【6大题型】-【题型分类归纳】2023-2024学年高一数学同步讲与练（人教B版2019必修第一册）

2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 一、一元二次方程的有关概念 1、一元二次方程的概念：只有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程。 【注意】一个方程若是一元二次方程，必须具备三个条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2。这样的方程才是一元二次方程，不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式： 一般地，任何一个关于的一元二次方程，经过整理都能化成如下形式：这种形式叫一元二次方程的一般形式，其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项。 3、一元二次方程的根：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。 二、一元二次方程根的判别式与解集 式子叫做一元二次方程根的判别式， 通常用表示，即= （1）当>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根； 此时，方程的解集为： （2）当=0时，一元二次方程有两个相等的实数根； 此时，方程的解集为： （3）当<0时，一元二次方程没有实数根。 此时，方程的解集为 三、一元二次方程根与系数的关系 1、一元二次方程根与系数的关系： 如果的两根、，那么， 2、常见的涉及到一元二次方程两根、的代数式的重要变形： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 四、一元二次方程的解法 （1）直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解； （2）配方法：通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式，若右边是一个非负常数，则可以直接开平方求解； （3）公式法：将一元二次方程中的系数，，的值代入式子中求解； （4）因式分解法：通过移项将等式右边变成0，再因式分解，令每个因式为0即可求解。 题型一 求一元二次方程的解集 【例1】（2023·高一课时练习）方程的解集是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023·高一课时练习）方程的解集是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2022秋·湖北恩施·高一校考阶段练习）解下列方程： （1）； （2）. 【变式1-3】（2022秋·江苏南京·高一金陵中学校考阶段练习）在实数范围内解下列方程： （1） （2） 题型二 根据一元二次方程的解求参数 【例2】（2022·江苏苏州·高一常熟中学校考阶段练习）若关于的一元二次方程 有一个根是0，则的值是（ ） A． B．2 C．0 D．或2 【变式2-1】（2023·高一课时练习）若关于x的方程的一个根是，则方程的另一个根是 . 【变式2-2】（2022秋·甘肃兰州·高一校考期末）如果方程的解为，则实数的值分别是（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2022秋·北京西城·高一北京市西城外国语学校校考阶段练习）方程的解集是，则的值是 . 【变式2-4】（2022秋·吉林白城·高一校考阶段练习）（ ）等腰三角形三边长分别为，且是关于的一元二次方程的两根，则的值为（ ） A．15 B．16 C．17 D．18 题型三 判别式与根的个数问题 【例3】（2023·高一课时练习）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 . 【变式3-1】（2023·高一课时练习）若关于x的方程的解集是单元集，求实数m的值. 【变式3-2】（2022秋·山东东营·高一利津县高级中学校考阶段练习）已知关于x的方程的两根同号，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2023秋·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考开学考试）已知关于的方程，根据下列条件，分别求出的值. （1）有一根为； （2）有两个互为相反数的实根； （3）两根互为倒数. 题型四 利用根与系数的关系求值 【例4】（2023秋·重庆·高一开学考试）设是方程的两根，那么的值是（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2022秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第一二二中学校校考阶段练习）已知方程的两根分别为、，则（ ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2023春·上海宝山·高一校考阶段练习）一元二次方程的两个实根为，则 ．