5.1 函数的概念与图象6种常见考法归类-【考点通关】2023-2024学年高一数学高频考点与解题策略(苏教版2019必修第一册)

5.1 函数的概念与图象6种常见考法归类 1.函数的概念 给定两个非空实数集合A和B，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一的实数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A，其中x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域. 2.值域 若A是函数y＝f(x)的定义域，则对于A中的每一个x(输入值)，都有一个y(输出值)与之对应，我们将所有输出值y组成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域. 3.同一个函数 如果两个函数对应关系相同，定义域相同，那么这两个函数就是同一个函数. 4.函数的图象 将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0)).当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)为{(x，f(x))|x∈A}，即{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y＝f(x)的图象. 5.作图、识图与用图 (1)画函数图象常用的方法是描点作图，其步骤是列表、描点、连线． (2)正比例函数与一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是双曲线，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是抛物线，开口方向由a值符号决定，a>0，图象开口向上，a<0时，图象开口向下，对称轴为x＝－． 6.判断一个对应关系是否为函数的方法 ①判断集合A，B是否为非空数集. ②判断集合A中任一元素在集合B中是否有唯一的元素与之对应. 满足上述两条，则该对应关系是函数，要注意“任意性”“存在性”“唯一性”，只要一个不满足便不能构成函数. 7.判断两个函数是否为同一个函数的方法 ①一般先求定义域，若定义域不同，则不是同一个函数；若定义域相同，可再化简函数的解析式，看对应关系是否相同，若对应关系也相同，则是同一个函数. ②因为函数的值域是由定义域和对应关系决定的，所以只要两个函数的定义域和对应关系都分别相同，值域就一定相同. 8.求函数定义域时，要注意应用下列原则： (1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R. (2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合. (3)如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合. (4)如果f(x)是由几部分构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合，也就是使各部分有意义的实数的集合的交集. (5)如果f(x)是根据实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合. (6)复合函数的定义域就是使所有式子都有意义的自变量的取值范围，注意相同的对应法则所作用对象的范围是一致的. 注意　定义域必须用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接. 9.抽象函数的定义域 1已知fx的定义域，求fgx的定义域：若fx的定义域为[a，b]，则fgx中a≤gx≤b，从中解得x的取值范围即为fgx的定义域. 2已知fgx的定义域，求fx的定义域：若fgx的定义域为[a，b]，即a≤x≤b，求得gx的取值范围，gx的取值范围即为fx的定义域.,用较为口语化的语言可以将上述两类题型的解法合并成两句话： ①定义域指自变量的取值范围.告诉我们已知什么，求什么 ②括号内范围相同. 10.求函数值的方法 (1)已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值；(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.函数的值域即为函数定义域中的每一个x对应的函数值的集合. 11.函数值域的求法 实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有： 观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域； 配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域； 判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围； 换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域． 求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等．总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约． 12.函数图象的画法 (1)作函数图象主要有