精品解析：四川省仁寿县校际联考2022-2023学年高二下学期第一次质量检测（3月）数学（文）试题

高2021级第四学期第一次质量检测 数学试卷（文科） 命题人：卓茹 审题人：徐金凤 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是　　 A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】在A中，l与相交、平行或；在B中，l与m相交、平行或异面；在C中，或；在D中，由线面垂直的性质定理得． 【详解】由l，m是两条不同的直线，是一个平面，知： 在A中，若，，则l与相交、平行或，故A错误； 在B中，若，，则l与m相交、平行或异面，故B错误； 在C中，若，，则或，故C错误； 在D中，若，，则由线面垂直的性质定理得，故D正确． 故选D． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 2. 函数的图象在点处的切线的斜率为（ ）． A. B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求解即可 【详解】解：由，得，则， 所以函数的图象在点处的切线的斜率为， 故选：A 3. 已知函数，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的定义求解. 【详解】解：因为函数， 所以， 故选：C 4. 已知抛物线上的点到其焦点的距离为2，则的横坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 求出抛物线的准线方程，设点的横坐标，利用抛物线的定义，即可求解. 【详解】抛物线焦点，准线方程为， 设点的横坐标为，根据抛物线的定义， . 故选:C 【点睛】本题考查抛物线定义在解题中的应用，属于基础题. 5. 已知双曲线：，则的焦点到其渐近线的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】求出双曲线的焦点坐标及渐近线方程，根据双曲线的对称性取其中一个焦点坐标和一条渐近线即可，根据点到直线的距离公式求出结果即可． 【详解】由题知双曲线的标准方程为， 所以其焦点坐标为，其渐近线方程为，即， 又根据双曲线的对称性， 不妨取焦点到渐近线方程为的距离， 故的焦点到其渐近线的距离为． 故选：A． 6. 若函数，则的值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先对函数求导，采用赋值的方式计算出的结果，由此计算出的值. 【详解】因为，所以令，则， 所以，则， 故选：B. 【点睛】本题考查导数中的计算，采用赋值法求解出函数解析中的未知量是解答的关键，难度一般. 7. 已知函数在处取得极值，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意，即可求出参数的值； 【详解】解:因为，所以，由条件知，是方程的实数根，．所以，，令，解得或，即在和上单调递增，令，解得，即在上单调递减，故在取得极大值，满足条件； 故选：B 8. 已知函数，是函数的导函数，则的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对函数求导得，易知为奇函数，排除B、D选项；再对求导，易得在是递减，即可求解. 【详解】，为奇函数，则函数的图像关于原点对称，排除选项B、D， 令，， 当，，也就是在递减，排除A，故C正确. 故选：C． 9. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导函数有2个不同的零点，且两个零点均大于零可求解. 【详解】函数的定义域为， 因为函数有两个不同的极值点， 所以有两个不同正根， 即有两个不同正根， 所以解得， 故选:A. 10. 已知，直线与曲线相切，则的最小值是（ ） A. 16 B. 12 C. 8 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的几何意义结合已知方程求出，的关系，再根据不等式中“1”的整体代换即可得出答案． 【详解】由，得， 令，得， 则，即， 所以，当且仅当时取等号. 故选：D． 11. 如图所示，是双曲线的左、右焦点，过的直线与C的左、右两支分别交于A，B两点.若，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】不妨令，利用勾股定理可得，根据双曲线的定义可求出，在中，利用勾股定理求出，即可求出，再根据双曲线的离心率公式即可得解. 【详解】， 不妨令， 又由双曲线的定义得， ， ， 在中，， 又. 故选：C. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 12. 人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题．牛顿（Issac Newton，1643-1727）在《流数法》一书中给出了牛顿法-用“作切线”的方法求方程的近似解．如图，方程的根就是函数的零点，取初始值处的切线与x轴的交点为，在的切线与x轴的交点为，一直这样下去，得到，，…，，它们越来越接近．若，，则用牛顿法得到的的近似值约为（ ） A. 1.438 B. 1.417 C. 1.416 D. 1.375 【答案】B 【解析】 【分析】利用切点和斜率求得切线方程，结合牛顿法求得. 【详解】， ，，在点的切线方程为，令解得， ，，在点的切线方程为， 令解得. 故选：B 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 的单调递减区间是_____. 【答案】 【解析】 【分析】求导，利用导函数求出函数的递减区间. 【详解】的定义域是，， 令，解得， 故的单调递减区间是. 故答案为： 14. 若圆与直线x＋y＋1＝0相交于A、B两点，则弦的长为______. 【答案】 【解析】 【分析】确定圆心和半径，计算圆心到直线的距离为，再根据弦长公式计算得到答案. 【详解】圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离， 故. 故答案为： 15. 已知函数，则不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的单调性和奇偶性，然后解不等式. 【详解】由，定义域为，又，即是偶函数， 当时，，即时，单调递增， 故， 由，两边平方可得，，整理可得， 解得. 故答案为： 16. 19世纪丹麦数学家琴生对数学分析做出卓越贡献，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，定义：函数f(x)在(a，b)上的导函数为，在(a，b)上的导函数为，若在(a，b)上<0恒成立，则称函数f(x)在(a，b)上为“严格凸函数”．若函数f(x)=在(1，4)上为“严格凸函数”，则m的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数f(x)的导数，再对求导并根据给定定义列出恒成立的不等式即可得解. 【详解】因函数f(x)=，则，， 依题意，，而函数在(1，4)上单调递增， 即，因此，， 所以m的取值范围为. 故答案为： 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知函数. （1）若在区间上为增函数，求a的取值范围. （2）若的单调递减区间为，求a的值. 【答案】（1）；（2）3. 【解析】 【分析】（1）由题意可得在上恒成立，即在上恒成立，转化为不等式右边的最小值成立，可得答案； （2）显然，否则函数在上递增.利用导数求出函数的递减区间为，再根据已知递减区间，可得答案 【详解】（1）因为，且在区间上为增函数， 所以在上恒成立，即在(1，+∞)上恒成立， 所以在上恒成立，所以，即a的取值范围是 （2）由题意知.因为，所以. 由，得， 所以的单调递减区间为， 又已知的单调递减区间为， 所以， 所以，即. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，特别要注意：函数在某个区间上递增或递减与函数的递增或递减区间是的区别，属于基础题. 18. 已知函数在与处都取得极值． (1)求函数的解析式及单调区间； (2)求函数在区间的最大值与最小值． 【答案】（1），单调增区间是，减区间是（2）， 【解析】 【分析】（1）对求导，根据在与处都取得极值，得和，建立方程组求得a,b的值，得到的解析式，再分析取得正负时x的范围，从而得出相应的单调区间，得解； （2）根据（1）可得出的极值点，再求出边界点和的值，与极值点的函数值比较大小可得解. 【详解】（1）因为，所以, 因为在与处都取得极值， 所以，即，解得 即，所以， 令或，令， 所以的单调增区间是，减区间是. （2）由（1）可知， 1 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 的极小值，的极大值，而，， 可得时，，. 故得解. 【点睛】本题考查通过导函数研究函数的单调性，极值，最值的问题，属于基础题． 19. 直四棱柱，底面是平行四边形，，分别是棱的中点. （1）求证：平面： （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连结，证明四边形为平行四边形，则，再根据线面平行的判定定理即可得证； （2）利用余弦定理求出，再利用勾股定理求出，再根据结合棱锥的体积公式即可得出答案. 【小问1详解】 证明：取的中点，连结， 在中，分别为的中点， 所以且， 底面是平行四边形，是棱的中点， 所以且， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以平面平面， 所以平面； 【小问2详解】 在中，， 由余弦定理有， 解得， 则， 因为为的中点， 所以， 由已知直四棱柱，可得， 可得， . 20. 已知函数， （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间. 【答案】（1） （2）当时，函数单调增区间为，当时，函数单调增区为，单调减区为. 【解析】 【分析】（1）对求导，求出的值，再由点斜式方程即可求出答案. （2）对求导，令得，或，讨论的大小，即可求出函数的单调区间. 【小问1详解】 当时，，∴，，， ∴函数在点处的切线方程为：，即. 【小问2详解】 ∵， ∴， 由得，或， ∴当时，，函数在上单调递增， 当时，时，，时，， ∴函数在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，函数单调增区间为，当时，函数单调增区为，单调减区为. 21. 已知点A(0，－2)，椭圆E： (a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点. (1)求E的方程； (2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【详解】试题分析：设出，由直线的斜率为求得，结合离心率求得，再由隐含条件求得，即可求椭圆方程；（2）点轴时，不合题意；当直线斜率存在时，设直线，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得的范围，再由弦长公式求得，由点到直线的距离公式求得到的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出值，则直线方程可求. 试题解析：（1）设，因为直线的斜率为， 所以，. 又 解得， 所以椭圆的方程为. （2）解：设 由题意可设直线的方程为：， 联立消去得， 当，所以，即或时 . 所以 点到直线的距离 所以， 设，则， ， 当且仅当，即， 解得时取等号， 满足 所以的面积最大时直线的方程为：或. 【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的. 22. 已知函数． （1）若函数有两个零点，求实数m的取值范围； （2）若不等式仅有一个整数解，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）问题转化为函数的图像与直线有两个交点，利用导数研究的单调区间和极值，作出函数图像，数形结合求实数m的取值范围；． （2）通过函数的图像和极值，解决不等式仅有一个整数解的问题. 【小问1详解】 函数有两个零点，相当于函数的图像与直线有两个交点． 函数，则， 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减， 所以当时，函数取得极大值，也是最大值为， 当时，，时，， 函数的图像如图所示， 可得，所以实数m的取值范围为． 【小问2详解】 因为，所以不等式仅有一个整数解， 即只有一个整数解，因为的极大值为，，， 所以当时，只有一个整数解， 即当时，不等式仅有一个整数解． 所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2021级第四学期第一次质量检测 数学试卷（文科） 命题人：卓茹 审题人：徐金凤 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是　　 A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 2. 函数的图象在点处的切线的斜率为（ ）． A. B. C. 6 D. 3. 已知函数，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 4. 已知抛物线上的点到其焦点的距离为2，则的横坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线：，则的焦点到其渐近线的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 3 6. 若函数，则的值为（ ） A. 0 B. C. D. 7. 已知函数在处取得极值，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 8. 已知函数，是函数的导函数，则的图像大致是（ ） A. B. C. D. 9. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 已知，直线与曲线相切，则的最小值是（ ） A. 16 B. 12 C. 8 D. 4 11. 如图所示，是双曲线的左、右焦点，过的直线与C的左、右两支分别交于A，B两点.若，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 12. 人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题．牛顿（Issac Newton，1643-1727）在《流数法》一书中给出了牛顿法-用“作切线”的方法求方程的近似解．如图，方程的根就是函数的零点，取初始值处的切线与x轴的交点为，在的切线与x轴的交点为，一直这样下去，得到，，…，，它们越来越接近．若，，则用牛顿法得到的的近似值约为（ ） A. 1.438 B. 1.417 C. 1.416 D. 1.375 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 的单调递减区间是_____. 14. 若圆与直线x＋y＋1＝0相交于A、B两点，则弦的长为______. 15. 已知函数，则不等式的解集为__________． 16. 19世纪丹麦数学家琴生对数学分析做出卓越贡献，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，定义：函数f(x)在(a，b)上的导函数为，在(a，b)上的导函数为，若在(a，b)上<0恒成立，则称函数f(x)在(a，b)上为“严格凸函数”．若函数f(x)=在(1，4)上为“严格凸函数”，则m的取值范围为_____． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知函数. （1）若在区间上为增函数，求a的取值范围. （2）若的单调递减区间为，求a的值. 18. 已知函数在与处都取得极值． (1)求函数的解析式及单调区间； (2)求函数在区间的最大值与最小值． 19. 直四棱柱，底面是平行四边形，，分别是棱的中点. （1）求证：平面： （2）求三棱锥的体积. 20. 已知函数， （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间. 21. 已知点A(0，－2)，椭圆E： (a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点. (1)求E的方程； (2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程. 22. 已知函数． （1）若函数有两个零点，求实数m的取值范围； （2）若不等式仅有一个整数解，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $