精品解析：北京市八一学校2023-2024学年高三上学期开学摸底考试数学试题

北京市八一学校2023～2024学年度第一学期摸底考试 高三数学 本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上．在试学上作答无效． 第一部分（选择题，共40分） 一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知全集为，若集合，集合，则图中阴影部分表示（ ） A B. C. D. 2 设，则（ ） A. i B. C. 1 D. 3. 下列函数中，值域为（1，+∞）的是（　　） A. y=2x+1 B. C. y=log2|x| D. y=x2+1 4. “”是“方程表示双曲线”的（ ）条件 A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 埃及胡夫金字塔是世界古代建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，其侧面与底面所成角的余弦值为，则侧面三角形的底角的正切值为（ ）． A. 2 B. 3 C. D. 6. 直线l经过点，且与直线平行，如果直线l与曲线相切，那么b等于（ ）． A. B. C. 1 D. 7. 图是第七届国际数学教育大会的会徽图案，会徽的主体图案是由如图所示的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图中的直角三角形继续作下去，记，，，的长度构成的数列为，则=（ ） A. 52 B. C. 10 D. 100 8. 如图，圆半径为，圆外一点到圆心的距离为，过引圆的两条切线，切点分别记为、，为圆上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 9. 若ABC的内角A，B，C所对的边分别为，已知，且，则（ ） A. 3 B. C. D. 10. 如果直线与两条曲线都相切，则称为这两条曲线的公切线，如果曲线和曲线有且仅有两条公切线，那么常数a的取值范围是（ ） A B. C. D. 第二部分（非选择题，共110分） 二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分． 11. 展开式中的系数为_________（用数字作答） 12. 设等比数列前项和为，若，，则_____． 13. 已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值______． 14. 已知抛物线C的方程为，若倾斜角为锐角的直线l过抛物线的焦点F，与抛物线交于A，B两点，且，则直线l的倾斜角为__________． 15. 关于函数有如下四个命题： ①的图像关于y轴对称． ②的图像关于直线对称． ③当时，在区间上单调递减． ④当，使在区间上有两个极大值点． 其中所有真命题的序号是__________． 三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 如图，已知正方体中，点是棱的中点． （1）求证：平面； （2）若点F是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知函数，图象上两相邻对称轴之间的距离为；_______________； （Ⅰ）在①的一条对称轴；②的一个对称中心；③的图象经过点这三个条件中任选一个补充在上面空白横线中，然后确定函数的解析式； （Ⅱ）若动直线与和的图象分别交于、两点，求线段长度的最大值及此时的值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18. 为保障食品安全，某地食品监管部门对辖区内甲､乙两家食品企业进行检查，分别从这两家企业生产的某种同类产品中随机抽取了100件作为样本，并以样本的一项关键质量指标值为检测依据.已知该质量指标值对应的产品等级如下： 质量指标值 ， ， ， ， ， ， 等级 次品 二等品 一等品 二等品 三等品 次品 根据质量指标值的分组，统计得到了甲企业的样本频率分布直方图和乙企业的样本频数分布表（如下面表，其中. 质量指标值 频数 ， 2 ， 18 ， 48 ， 14 ， 16 ， 2 合计 100 （1）现从甲企业生产的产品中任取一件，试估计该件产品为次品的概率； （2）为守法经营､提高利润，乙企业将所有次品销毁，并将一､二､三等品的售价分别定为120元､90元､60元.一名顾客随机购买了乙企业销售的2件该食品，记其支付费用为元，用频率估计概率，求的分布列和数学期望； （3）根据图表数据，请自定标准，对甲､乙两企业食品质量优劣情况进行比较. 19. 已知函数． （1）当时，求函数的极小值； （2）当时，讨论的单调性； （3）若函数在区间上有且只有一个零点，求的取值范围． 20. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，上下顶点分别为，，四边形的面积为4，且该四边形内切圆的方程为． （1）求椭圆的方程； （2）直线(,