7.5.2三角形内角和定理教学设计2023-2024学年数学北师大版八年级上册

7.5.2 三角形内角和定理 一、教学目标 1.了解并掌握三角形的外角的定义． 2. 能利用三角形内角和定理及其两个推论进行简单的计算和证明. 二、教学重难点 重点:运用三角形内角和定理的推论解决有关求角的问题. 难点:添加辅助线. 三、教法与学法 教法:通过问题情境的探究讨论,启发、引导学生如何通过添加辅助线来证明三角形的内角和定理,并应用定理去解决某些应该求角的问题. 学法:观察、讨论、交流、归纳、应用,通过课堂讨论和练习掌握新知识. 四、教学过程 （一）情境导入 想一想：在一个三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐弯的地方都转了一个角度（∠1，∠2，∠3），那么回到原来位置时（方向与出发时相同），一共转了多少度？ （二）问题探究 定义：如图，把△ABC的一边BC 延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. ∠ACD是△ABC的一个外角. 问题1：如图，延长AC到E,∠BCE是不是△ABC的一个外角？∠DCE是不是△ABC的一个外角？ ∠BCE是△ABC的一个外角，∠DCE不是△ABC的一个外角. 问题2：如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？ ∠ACD 与∠BCE为对顶角，∠ACD =∠BCE；在三角形每个顶点处都有两个外角. 画一画：画出△ABC的所有外角，共有几个呢? 每一个三角形都有6个外角．每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角. 三角形的外角应具备的条件： ①角的顶点是三角形的顶点； ②角的一边是三角形的一边； ③另一边是三角形中一边的延长线. ∠ACD是△ABC的一个外角.每一个三角形都有6个外角． 问题3 如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？ ∠BCD与∠ACB互补. 问题4 如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A，∠B)有什么关系？ ∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°， ∴∠A+∠B=∠BCD. 验证结论： 已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B. 证明：过C作CE平行于AB， ∴∠1=∠B，（两直线平行，同位角相等）. ∠2=∠A ，（两直线平行，内错角相等） ∴∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B. 三角形内角和定理的推论（一）：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 几何语言： ∵ ∠ACD是△ABC的一个外角 ∴ ∠ACD=∠A+∠B. 如图1，试比较∠2 、∠1的大小. 解：∵∠2=∠1+∠B, ∴∠2＞∠1. 如图2，试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小. 解：∵∠2=∠1+∠B, ∠3=∠2+∠D, ∴∠3＞∠2＞∠1. 三角形内角和定理的推论（二）：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 说明:在这里,我们通过三角形的内角和定理直接推导出两个新定理.像这样,由一个基本事实或定理直接推出的定理,叫做这个基本事实或者定理的推论.推论可以当做定理使用. （三）典例解析 例1：已知:如图,在△ABC中，AD平分外角∠EAC，∠B=∠C. 求证:AD∥BC. 解析：要证明AD∥BC,只需证明“同位角相等”或“内错角相等”或“同旁内角互补”. 教材图7-18 证明：∵∠EAC=∠B+∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和), ∠B=∠C(已知), ∴∠C=∠EAC(等式性质). ∵AD平分么EAC(已知), ∴∠DAC=∠EAC(角平分线定义). ∴DAC=∠C(等量代换). ∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行). 想一想：你还有其他的证明方法吗? 例2：已知:如图,P是△ABC内一点,连接PB,PC.求证:∠BPC>∠A. 教材图7-19 解析：要证明∠BPC>∠A,我们要应用“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”.因此,要试着找外角. 证明： 教材图7-20 如图,延长BP,交AC于点D. ∵∠BPC是△PDC的一个外角(外角的定义), ∴∠BPC>∠PDC(三角形的一个外角大于任何一个与和不相邻的内角). ∵∠PDC是△ABD的一个外角(外角的定义), ∴∠PDC>∠A(三角形的一个外角大于任何一个与和不相邻的内角) ∴∠BPC>∠A(不等式的性质) 小结:当无法直接从已知条件得到结论时,要寻找中间的过渡条件,有时还要添加辅助线 想一想：你还有其他的证明方法吗?与同伴交流. (1)方法1:延长CP交AB于点E; (2)方法2:连接AP并延长. 设计意图：学生经历从三角形内角和定理推导出三角形的外角定理的过程,体会定理的推导,帮助学生应用认知结构的正迁移. （四）课堂演练 1.判断下列命题的对错. （1）三角形的一个外角等于两个内角的和. （