7.5.1三角形内角和定理教学设计 2023-2024学年数学北师大版八年级上册

7.5.1 三角形内角和定理 一、教学目标 1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°． 2.会运用三角形内角和定理进行计算. 二、教学重难点 重点:运用三角形内角和定理解决有关求角的问题. 难点:添加辅助线. 三、教法与学法 教法:通过问题情境的探究讨论,启发、引导学生如何通过添加辅助线来证明三角形的内角和定理,并应用定理去解决某些应该求角的问题. 学法:观察、讨论、交流、归纳、应用,通过课堂讨论和练习掌握新知识. 四、教学过程 （一）问题探究 同学们知道三角形的内角和等于多少吗?你们还记得这个结论的探索过程吗? 思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢? 用拼接的方法，你知道怎样操作吗？（小组合作，讨论剪拼方法.各小组代表演式剪拼过程） 在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.你还有什么方法可以达到同样的效果? 教材图7-12 观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？ 【设计意图】问题的引入意在引起学生的注意,了解解决问题的途径,激发学生学习数学的兴趣,鼓励学生学以致用,设法寻求方案,解决问题. 如果我们把上面的问题转化为数学的语言,则有： 已知：△ABC. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 教材图7-13 证法1：分析：前面我们探究三角形的内角和,实际上就是设法把三个角移动到一起;如何能够移动到一起呢?延长BC到D,过点C作射线CE∥BA(教材图7-14),这样就相当于把∠A移到了∠1的位置,把∠B移到了∠2的位置. 教材图7-14 延长BC到D,过点C作射线CE∥BA,则∠1=∠A(两直线平行,内错角相等), ∠2=∠B(两直线平行,同位角相等). ∵∠1+∠2+∠ACB=180°(平角的定义), ∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换). 说明:这里的CD,CE是我们添加的,可以帮助完成证明的称为辅助线.辅助线通常画成虚线. 证法2：过点A作l∥BC， ∴∠B=∠1.(两直线平行,内错角相等) ∠C=∠2.(两直线平行,内错角相等) ∵∠2+∠1+∠BAC=180°， ∴∠B+∠C+∠BAC=180°. 证法3：过D作DE∥AC,作DF∥AB. ∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC.(两直线平行，同位角相等) ∠A+∠AED=180°, (两直线平行，同旁内角相补) ∠AED+∠EDF=180°，(两直线平行，同旁内角相补) ∴ ∠A=∠EDF. ∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°， ∴∠A+∠B+∠C=180°. 想一想：同学们还有其他的方法吗？ 思考：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？ 借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角. 试一试 同学们按照上图中的辅助线，给出证明步骤？ 【设计意图】新课的导入是为了通过作辅助线,证明定理,从而培养学生的思考能力、分析能力,以及培养学生应用数学的能力.让学生了解证明的过程与方法. （二）归纳总结 三角形内角和定理:三角形的内角和是180°. 作辅助线：在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. 思路总结：为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法. （三）典例解析 例1：如图所示，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数. 解：在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°（三角形内角和定理）. ∵∠B=38°，∠C=62°（已知）， ∴∠BAC=180°-38°-62°=80°（等式的性质）. ∵AD平分∠BAC（已知） ∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=×80°=40° 在△ADB中,∠B+∠BAD+∠ADB=180°（三角形内角和定理）. ∵∠B=38°（已知）,∠BAD=40°（已证）, ∴∠ADB=180°-38°-40°=102°（等式的性质）. 例2：如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D. 解：∵DE⊥AB， ∴∠FEA＝90°． ∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°， ∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°. 又∵∠CFD＝∠AFE， ∴∠CFD＝60°. ∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°， ∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°. 例3：如图，一艘渔船在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，另一艘货轮在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向，