北京市东直门中学2023-2024学年高三上学期开学考试数学试卷

2023-2024学年北京市东直门中学高三（上）开学数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={xx2-x-6≥0}，则MnN=() A.{-2,-1,0,1} B.{0,1,2} C.{-2}D.{23 2.已知2=1-主，则：-z=() 2+2i A.-i B.i C.0 D.1 3.已知向量a=(1,1),b=(1,-1).若(a+ab)上(a+μb),则() A.+μ=1 B.λ+μ=-1 C.μ=1 D.=-1 1 4已知a=。3,b1吃csi吗则《) 1 A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.a>c>b 5.设椭圆C1: 1>C兰F的将心串分别为92若=VB 4 则a=( A.23 B.√2 c.3 D.√6 3 6.过点(0，-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为a,则sinc=() A.1 B.15 c.10 D.6 4 4 4 7.已知不共线的两个非零向量a,6,则“a+6与a-6所成角为钝角”是 “a|<61”的() A,充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 8.双曲线x2y2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.过F2作其中一条渐近 a2 b2 线的垂线，垂足为P.已知PF=2,直线PR,的斜率为互，则双曲线的方程为 4 第1页（共5页） A. .y2 .y2 =1 B.x2 =1 84 48 c.2 D. 42 24 9.已知正方体ABCD-A1B1CD1的棱长为2，点P为正方形ABCD所在平面内一动点，给 出下列三个命题： ①若点P总满足PD1⊥DC1,则动点P的轨迹是一条直线： ②若点P到直线BB1与到平面CDD1C1的距离相等，则动点P的轨迹是抛物线： ③若点P到直线DD1的距离与到点C的距离之和为2，则动点P的轨迹是椭圆， 其中正确的命愿个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 10.李明开发的小程序在发布时已有500名初始用户，经过t天后，用户人数A()=A (0):,其中k为常数.己知小程序发布经过10天后有2000名用户，则用户超过 50000名至少经过的天数为()（本题取1g2=0.30) A.31 B.32 C.33 D.34 三、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分. 山.在(2x3)展开式中，2项的系数是 12.在△4Bc中，b=√3，且sinB=√3sinA,C= 6则a= 13.已知函数f(x)=cosaxx-1(w>0)在区间[0,2m有且仅有3个零点，则ω的取值范 围是 ex-kx,x>0, 14.已知函数f(x)= kx2-x+1,x<0. 若k=0,则不等式∫(x)<2的解集 为 若∫(x)恰有两个零点，则k的取值范围为 15.三等分角是“古希腊三大几何问题”之一，目前尺规作图仍不能解决这个问题.古希 腊数学家Ppps(约300~350前后)借助圆弧和双曲线给出了一种三等分角的方法： 如图，以角的顶点C为圆心作圆交角的两边于A,B两点；取线段AB的三等分点O, D;以B为焦点，A,D为顶点作双曲线H.双曲线H与弧AB的交点记为E,连接CE, 则∠BCE=号∠ACB 第2页（共5页） ①双曲线H的离心率为 ②若∠ACB=元，|AC1=3N2,CE交AB于点P,则OP B 四、解答题：本题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16.如图，在长方体ABCD-A1B1CD1中，侧面ABB41是正方形，且AB=2V2,AD=4, 点E为BC的中点，点F在直线AD1上 (1)若C1F∥平面AA1E,求证：CF∥平面AA1E: (2)求二面角A-A1E-D1的余弦值. 17.已知fx)=mp)+aos,其中1中1<受 着受) ,求p的值： (2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求f(x)的单调递增区间， 条件0：a=V3,中=-元 3 条件②：a=-1,中-元 6 18.根据Z市2020年人口普查的数据，在该市15岁及以上常住人口中，各种受教育程度人 口所占比例（精确到0.01）如下表所示： 受教育 未上学 小学 初中 高中 大学 大学 硕士 博士 程度 专科 本科 研究生 研究生 性别 男 0.00 0.03 0.14 011 0.07 0.11 0.03 0.01 女 0.01 0.04 0.11 0.11 0.08 0.12 0.03 0.00 第3项（共5页） 合计 0.01 0.07 0.25 0.22 0.15 0.23 0.06 0.01 (【)已知Z市15岁及以上常住人口在全市常住人口中所占比例约为85%，从全