11.4 球（课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020必修第三册）

11.4 球 第11章 简单几何体 教师 xxx 沪教版（2020） 必修第三册 球及其结构 球的切、接问题 球的表面积和体积 01 03 02 CONTANTS 目 录 球及其结构 01 球 O 球心 半径 A B 1.球的定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的曲面叫做球体，简称球。 （1）半圆的圆心叫做球的球心。 （2）半圆的半径叫做球的半径。 （3）半圆的直径叫做球的直径。 2.球的表示：用表示球心的字母表示，如球O 球及其结构 想一想：用一个平面去截一个球,截面是什么? O 用一个截面去截一个球，截面是圆面。 球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆。 球面被不过球心的平面截得的圆叫做小圆。 *注意：通常我们用的篮球、排球是指球面，而铅球才是球体。 球的截面 性质1: 用一个平面去截球，截面是圆面； 性质2: 球心和截面圆心的连线垂直于截面． 性质3: 球心到截面的距离与球的半径及截面的 半径的关系: 球的截面问题 O1 例1.已知知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为6π和8π，则这 两个截面间的距离为________． 解：若两个平行截面在球心同侧，则两个截面间的距离为1； 若两个平行截面在球心异侧，则两个截面间的距离为7. 生活中会看到一些物体，它们的主要几何结构特征是什么？ 5 简单组合体的结构特征 由柱、锥、台、球组成了一些简单的组合体．认识它们的结构特征要注意整体与部分的关系． 1.由简单几何体拼接而成，如图. 简单组合体的形成 圆柱 圆台 圆柱 球的表面积和体积 02 1、球的表面积 设球的半径为R，它的表面积只与半径R有关，是以R为自变量的函数.事实上，如果球的半径为R，那么它的表面积是 O 例2 如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3m，圆柱高0.6m．如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？(x取3.14) 【解析】一个浮标的表面积为2π×0.15×0.6+4π×0.152=0.8478(m2), 所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料 0.8478×0.5×1000=423.9(kg). 第一步：分割．如图所示将球O的表面分成n个小网格，连接球心O和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成n个“小锥体”． 小学,我们学习了圆的面积公式，你还记得是如何求得的吗?类比这种方法你能由球的表面积公式推导出球的体积公式? 2、球的体积 第二步：近似替代．当n越大时，每个小网格就越小，每个“小锥体”的底面就越平，“小锥体”就越近似于棱锥，棱锥的高近似于球半径R．设O-ABCD是其中一个“小锥体”，则它的体积是 第三步：由近似和求得球体积．由于球的体积是这n个“小锥体”的体积之和，而这n个“小锥体”的底面积之和就是球的表面积．因此球的体积： 例3 如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比. 【解析】设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，则： 球的切、接问题 03 类型及其含义 若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，称这个球是这个多面体的内切球，这个多面体是这个球的外切多面体。 内切球 若一个多面体的各棱都与一个球的球面相切，称这个球是这个多面体的棱切球. 棱切球 一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，称这个球是这个多面体的外接球，这个多面体是这个球的内接多面体. 外接球 常用几何体及其结论——正方体 特征 半径 立体图 截面图 内切球 切点 各个面的中心 球心 正方体的中心 直径 相对两个面中心连线 棱切球 切点 各棱的中点. 球心 正方体的中心. 直径 “对棱”中点连线 外接球 切点 球心 正方体的中心. 直径 体对角线 • O O • • O O • O A B C D O • A B C D 常用几何体及其结论——长方体 面对角线的长不固定，体对角线长为 长方体的不一定有内切球和棱切球 长方体必有外接球，球心是体对角线的中点 半径是球心到顶点的距离，即体对角线的一半 内切球半径等于球心到面的距离 棱切球半径等于球心到棱的距离 外接球半径等于球心到顶点的距离 常用几何体及其结论——正四面体 半径求解方法和常用模型 1.轴截面法 2.补形法 墙角模型 汉堡模型 • O • O2 C B A a • O1 1.设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是（ ） 解：选C 设正方体棱长为a,由题意可知，6a²=24，所以a=2.设正方体外接球的半径为R，则 a=2R,所以R= ,所以