第27章 微专项19 相似在函数中的应用(选学)-【学霸智慧课堂】2023-2024学年九年级全一册数学同步配套PPT课件（人教版）

第二十七章　相似 微专项19|相似在函数中的应用(选学) 类型❶　相似三角形在一次函数、反比例函数中的应用 1．如图，平面直角坐标系中，点A(4，3)，AB⊥x轴，AC⊥y轴，点B，C为垂足，直线y＝－x＋k分别与x轴，y轴，AB，AC交于点E，F，G，H(点G，H与点A不重合)． (1)当k＝5时，求△BEG与△CHF的面积比； (2)当△OEH∽△GFO时，求直线y＝－x＋k所表示的一次函数的解析式． 解： (1) ∵AB∥OF， ∴△BEG∽△OEF. 同理，△OEF∽△CHF. ∴△BEG∽△CHF. ∵直线y＝－x＋k与x轴的交点E(k，0)， 与y轴的交点F(0，k)， ∴OE＝OF＝k. ∴△OEF是等腰直角三角形． ∴△BEG和△CHF都是等腰直角三角形． 则CF＝CH＝k－3，BE＝BG＝k－4， 当k＝5时，CF＝2，BG＝1. ∴△BEG与△CHF的面积比＝ (2)∵△OEH∽△GFO， ∵△BEG和△CHF都是等腰直角三角形，且CF＝CH＝k－3，BE＝BG＝k－4， 学霸智慧课堂·数学·九年级全一册(RJ) 上一页 下一页 返回首页 (1)求k的值； 解：(1)过点A，B分别作AE，BF垂直于x轴，垂足为E，F，则△AOE∽△BOF. 答图 学霸智慧课堂·数学·九年级全一册(RJ) 上一页 下一页 返回首页 类型❷　二次函数中相似三角形的存在性问题 3．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x＝ ，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m. (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 解:(1)设OB＝t，则OA＝2t， 则点A，B的坐标分别为(2t，0)，(－t，0)，   ∴点A，B的坐标分别为(2，0)，(－1，0)． ∵C为抛物线与y轴交点，∴C(0，2)． 设抛物线的解析式为y＝a(x－2)(x＋1)． 代入C(0，2)，解得a＝－1. ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋2. (2)存在．点D(m，－m2＋m＋2)(0<m<2)， 则OE＝m，DE＝－m2＋m＋2. 以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似， 学霸智慧课堂·数学·九年级全一册(RJ) 上一页 下一页 返回首页 4．如图，抛物线y＝x2－2x－3与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点． (1)求点C及顶点M的坐标； 解：令y＝x2－2x－3中x＝0，此时y＝－3， 故点C的坐标为(0，－3)． 又y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4， ∴抛物线的顶点M的坐标为(1，－4)． 学霸智慧课堂·数学·九年级全一册(RJ) 上一页 下一页 返回首页 4．如图，抛物线y＝x2－2x－3与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点． (2)直线CM交x轴于点E，若点P是线段EC上的一个动点，是否存在以点P，E，O为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解：存在．连接AC，OP. 由y＝x2－2x－3可得A(－1，0)，B(3，0)． 答图 设直线CM的解析式为y＝kx＋b. 将C(0，－3)，M(1，－4)代入y＝kx＋b， ∴直线CM的解析式为y＝－x－3. 令y＝0，则x＝－3， ∴点E的坐标为(－3，0)． ∴OE＝OB＝3，且OC⊥BE. ∴∠EBC＝∠BEC. 设P(x，－x－3)，P点在线段EC上， ∴－3＜x＜0. ①△PEO∽△CBA， ②△PEO∽△ABC， 解得x＝－1.∴P(－1，－2)． 学霸智慧课堂·数学·九年级全一册(RJ) 上一页 下一页 返回首页 ∴＝，解得k＝2. 则一次函数的解析式为y＝－x＋2. ＝. ∴＝. ∴FH＝(k－3)，EG＝(k－4)，EF＝k. ∴FG＝EF－EG＝4，EH＝EF－FH＝3. 2．如图，点A，B为反比例函数y＝，y＝在第一象限图象上的两点，且与原点O在同一直线上，已知＝. 又点B在y＝的图象上， ∴k＝3m·＝9. (2)过点A作x轴的平行线交y＝的图象于点C，连接BC，求△ABC的面积． ∴＝＝，＝＝. (2)由(1)可知，A，B. ∵AC∥x轴，∴C的纵坐标是， 把y＝代入y＝得x＝9m，即C， ∴AC＝9m－m＝8m. ∴S△ABC＝×8m·＝8. 又＝，∴＝＝＝. 由点A在函数y＝的图象上， 设A的坐标是， ∴OF＝3m，BF＝，即B的坐标是. 解得m＝1或－2(舍去)或或(舍去)． 故m＝1或. 则x＝＝(2t－t)，解得t＝1. 则＝或. ∴