第27章 微专项17 以四边形、圆为背景的相似问题(选学)-【学霸智慧课堂】2023-2024学年九年级全一册数学同步配套PPT课件（人教版）

第二十七章　相似 微专项17|以四边形、圆为背景的相似问题(选学) 类型❶　以四边形为背景的相似问题 1．如图，在菱形ABCD中，点M，N在对角线AC上，ME⊥AD，NF⊥AB.若NF＝NM＝2，ME＝3，则AN＝(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 B 学霸智慧课堂·数学·九年级全一册(RJ) 上一页 下一页 返回首页 (1)∠BAE＝∠CAD； (2)△ABE∽△ACD. ∴△ABC∽△AED. ∴∠BAC＝∠EAD. ∴∠BAC－∠EAF＝∠EAD－∠EAF， 即∠BAE＝∠CAD. 由(1)知∠BAE＝∠CAD， ∴△ABE∽△ACD. 学霸智慧课堂·数学·九年级全一册(RJ) 上一页 下一页 返回首页 3．如图，在矩形ABCD中，E为边BC上一点，DF⊥AE于点F. (1)求证：△ABE∽△DFA； (2)若AB＝3，AD＝6，BE＝4，求DF的长． (1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠B＝90°. ∴∠AEB＝∠DAE. ∵DF⊥AE， ∴∠AFD＝90°＝∠B. ∴△ABE∽△DFA. (2)解：在Rt△ABE中，AB＝3，BE＝4， ∵△ABE∽△DFA， 解得DF＝3.6. 学霸智慧课堂·数学·九年级全一册(RJ) 上一页 下一页 返回首页 4．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，P为DC延长线上一点，AP分别交BD，BC于点M，N. (1)求证：AM 2＝MN·MP； (2)若AD＝6，DC∶CP＝2∶1，求BN的长． (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC. ∴∠ADM＝∠NBM， ∠DAM＝∠BNM. ∴△ADM∽△NBM. (2)解：∵AD∥BC， ∴∠PCN＝∠PDA，∠P＝∠P. 又BC＝AD＝6，∴NC＝2. ∴BN＝BC－NC＝6－2＝4. 学霸智慧课堂·数学·九年级全一册(RJ) 上一页 下一页 返回首页 5．如图，在矩形ABCD中，以点A为直角顶点作Rt△AEF，连接BE，DF，延长DF交BE于点G，交AB于点H，且 (1)△ABE∽△ADF； (2)DG⊥BE. (1)证明：在矩形ABCD中，∠BAD＝90°， 又∠EAF＝90°， ∴∠EAB＋∠BAF＝∠DAF＋∠BAF＝90°. ∴∠EAB＝∠DAF. (2)解：∵△ABE∽△ADF， ∴∠ADF＝∠ABE. ∵∠AHD＝∠BHG，∴△ADH∽△GBH. ∴∠HGB＝∠HAD＝90°.∴DG⊥BE. 学霸智慧课堂·数学·九年级全一册(RJ) 上一页 下一页 返回首页 类型❷　以圆为背景的相似问题 6．如图，BC为半圆O的直径，EF⊥BC于点F，且BF∶FC＝5∶1，若AB＝ 8，AE＝2，则AD的长为_______. 学霸智慧课堂·数学·九年级全一册(RJ) 上一页 下一页 返回首页 7．如图，点A，B，C在⊙O上，AE是⊙O的直径，D是BC上一点，连接BE，AD，已知DC·AE＝BE·AC，求证：AD⊥BC. ∴∠E＝∠C. ∵DC·AE＝BE·AC， ∴△ABE∽△ADC. ∴∠ABE＝∠ADC. ∵AE是⊙O的直径， ∴∠ADC＝∠ABE＝90°， 即AD⊥BC. 学霸智慧课堂·数学·九年级全一册(RJ) 上一页 下一页 返回首页 8．如图，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D，连接OD.作BE⊥CD于点E，交半圆O于点F. (1)求证：△COD∽△CBE； (2)若CE＝12，BE＝9，求半圆O的半径r的长． (1)证明：∵CD切半圆O于点D， ∴CD⊥OD.∴∠CDO＝90°. ∵BE⊥CD， ∴∠E＝90°＝∠CDO. 又∠C＝∠C， ∴△COD∽△CBE. (2)解：在Rt△BEC中，CE＝12，BE＝9， ∵△COD∽△CBE， 学霸智慧课堂·数学·九年级全一册(RJ) 上一页 下一页 返回首页 9．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是圆上异于A，B的一点，连接BC并延长至点D，使CD＝BC，连接AD交⊙O于点E，连接BE. (1)求证：△ABD是等腰三角形； (2)连接OC并延长，与以B为切点的切线交于点F，若AB＝4，CF＝1，求DE的长． (1)证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°. ∴AC⊥BD. 又CD＝BC， ∴AB＝AD. ∴△ABD是等腰三角形． (2)解：∵△ABD是等腰三角形，BC＝DC， ∴∠BOC＝∠BAD. ∵BF是⊙O的切线， ∴∠FBO＝90°. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°＝∠OBF. ∴△OBF∽△AEB. ∵AB＝4，CF＝1， ∴OB＝2，OF＝OC＋CF＝3. 学霸智慧课堂·数学·九年级全一册(RJ) 上一页 下一页 返回首页 2．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交