第22章 微专项7 二次函数与几何图形综合——三角形问题(选学)-【学霸智慧课堂】2023-2024学年九年级全一册数学同步配套PPT课件（人教版）

第二十二章　二次函数 微专项7|二次函数与几何图形综合—— 三角形问题(选学) 类型　全等三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形 1．如图，将一正方形放置到平面直角坐标系中，其顶点A，B均落在坐标轴上，抛物线y＝－x2＋2x＋3过点A，B. (1)求点A，B的坐标； (2)M为抛物线上一点，恰使△MOA≌△MOB，求点M的坐标． 解：(1)令x＝0，则y＝3； 令y＝－x2＋2x＋3＝0， 解得x1＝－1，x2＝3. ∴A(0，3)，B(3，0)． (2)∵△MOA≌△MOB， ∴AM＝BM. ∴点M在AB的垂直平分线上． ∵四边形OBCA为正方形， ∴OC为AB的垂直平分线． 由(1)可知C(3，3)． 设直线OC的解析式为y＝kx. 将C(3，3)代入，得3k＝3，解得k＝1. ∴直线OC的解析式为y＝x. 学霸智慧课堂·数学·九年级全一册(RJ) 上一页 下一页 返回首页 2．如图，直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于点B，C，经过B，C两点的抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴的另一个交点为点A，顶点为P. (1)求该抛物线的解析式； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1) ∵直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于点B，C， ∴B(3，0)，C(0，3)． ∴抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3. (2)存在．抛物线的对称轴为x＝2，顶点P(2，－1)．设M(2，t)． 学霸智慧课堂·数学·九年级全一册(RJ) 上一页 下一页 返回首页 3.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A(1，0)，C(0，3)． (1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式； (2)设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形时点P的坐标． 解： (1)根据题意，得 故抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3. ∵对称轴为x＝－1，且抛物线经过A(1，0)，B两点， ∴B(－3，0)． 把B(－3，0)，C(0，3)分别代入直线y＝mx＋n， ∴直线BC的解析式为y＝x＋3. (2)设P(－1，t)． 由B(－3，0)，C(0，3)，得BC2＝18，PB2＝4＋t2，PC2＝1＋(t－3)2＝t2－6t＋10. ①若点B为直角顶点，则BC2＋PB2＝PC2， 即18＋4＋t2＝t2－6t＋10，解得t＝－2； ②若点C为直角顶点，则BC2＋PC2＝PB2， 即18＋t2－6t＋10＝4＋t2，解得t＝4； ③若点P为直角顶点，则PB2＋PC2＝BC2， 即4＋t2＋t2－6t＋10＝18， 学霸智慧课堂·数学·九年级全一册(RJ) 上一页 下一页 返回首页 4．如图，抛物线经过点A(－1，0)，B(3，0)和C(2，3)，顶点为D. (1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式； (2)连接AD，CD，判断△ACD的形状； 解：(1)由抛物线过点A(－1，0)，B(3，0)，可设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)． ∵抛物线过点C(2，3)， ∴a·3×(－1)＝3，解得a＝－1. ∴抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3. 设直线AC的解析式为y＝kx＋b. ∴直线AC的解析式为y＝x＋1. (2)如图，设对称轴与x轴的交点为F，过点C作CG⊥DF于点G， ∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， ∴顶点D(1，4)． ∴AF＝2，DF＝4，CG＝1，DG＝1. 根据勾股定理，得AD2＝22＋42＝20，AC2＝(2＋1)2＋32＝18，CD2＝12＋12＝2， ∴AC2＋CD2＝AD2. ∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°. 答图 学霸智慧课堂·数学·九年级全一册(RJ) 上一页 下一页 返回首页 4．如图，抛物线经过点A(－1，0)，B(3，0)和C(2，3)，顶点为D. (3)在抛物线的对称轴上，是否存在一点E，使得△CDE为等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由． 解：存在． 设直线AC与DF交于点H，可求得H(1，2)． 由(2)解：可知∠ACD＝90°，∠CDG＝45°. 若CD为斜边，则当∠CED＝90°，即点E与点G重合时，△CDE是等腰直角三角形． ∴点E(1，3)． 若CD为直角边，则当∠DCE＝90°，即点E与点H重合时，△CDE是等腰直角三角形． ∴点E(1，2)． 综上所述，点E的坐标为(1，3)或(1，2)． 答图 学霸智慧课堂·数学·九年级全一册(RJ) 上一页 下一页 返回首页 ∴点M的