第22章 微专项4 二次函数与几何图形综合——线段问题(选学)-【学霸智慧课堂】2023-2024学年九年级全一册数学同步配套PPT课件（人教版）

第二十二章　二次函数 微专项4|二次函数与几何图形综合—— 线段问题(选学) 类型❶　线段和的最值——将军饮马模型 学霸智慧课堂·数学·九年级全一册(RJ) 上一页 下一页 返回首页 1．如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(0，3)，B(1，0)．P是抛物线对称轴上的一点，求当PA＋PB的值最小时，点P的坐标． 解：设抛物线与x点为点C，连接AC交抛物线对称轴于点P，连接PB. 将(0，3)，(1，0)代入y＝x2＋bx＋c，得 ∴y＝x2－4x＋3. ∴抛物线对称轴为直线x＝2. ∵点B的坐标为(1，0)， ∴点C的坐标为(3，0)． 设直线AC的解析式为y＝mx＋n， 将(0，3)，(3，0)代入解析式，得 ∴y＝－x＋3. ∵PB＝PC， ∴当A，P，C三点共线时，PA＋PB的值最小． 将x＝2代入y＝－x＋3，得y＝1. ∴点P的坐标为(2，1)． 学霸智慧课堂·数学·九年级全一册(RJ) 上一页 下一页 返回首页 2．如图，抛物线y＝x2－5x＋4与y轴交于点A，B为OA的中点，点C，D分别是x轴正半轴和抛物线对称轴上的动点，连接BC，CD，AD，求当四边形ABCD周长最小时，点C，D的坐标． 解：作点B关于x轴的对称点B′，作点A关于抛物线对称轴的对称点A′，连接A′B′交x轴于点C，交抛物线对称轴于点D. 由对称的性质，得BC＝B′C，AD＝A′D， 此时四边形ABCD的周长最小． 当x＝0时，y＝x2－5x＋4＝4，∴点A(0，4)． ∵B是OA的中点，∴B(0，2)，B′(0，－2)． 答图 ∴点A′(5，4)． 设直线A′B′的解析式为y＝kx＋b. ∵A′(5，4)，B′(0，－2)， 学霸智慧课堂·数学·九年级全一册(RJ) 上一页 下一页 返回首页 类型❷　线段差的最值 学霸智慧课堂·数学·九年级全一册(RJ) 上一页 下一页 返回首页 3．如图，已知抛物线上有三点A(－4，0)，B(1，0)，C(0，－3)． (1)求抛物线的解析式； 解：设抛物线的解析式为y＝a(x＋4)(x－1)． ∵点C(0，－3)在抛物线上， ∴抛物线的解析式为 学霸智慧课堂·数学·九年级全一册(RJ) 上一页 下一页 返回首页 3．如图，已知抛物线上有三点A(－4，0)，B(1，0)，C(0，－3)． (2)若点D的坐标为(5，－3)，点P是抛物线上的一个动点，当|PD－PB|取最大值时，求点P的坐标． 解：设直线BD的解析式为y＝kx＋b(k≠0)． 将B(1，0)，D(5，－3)分别代入，得 当点P与点B，D不在同一直线上时，根据三角形的三边关系，得|PD－PB|<BD； 当点P与点B，D在同一直线上时，|PD－PB|＝BD. ∴当点P与点B，D在同一直线上时，|PD－PB|的值最大，即点P为直线BD与抛物线的交点． 学霸智慧课堂·数学·九年级全一册(RJ) 上一页 下一页 返回首页 4．如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象交x轴于点A(－4，0)和点B，交y轴于点C(0，4)． (1)求这个二次函数的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得|PA－PC|的值最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1) ∵二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象过点A(－4，0)和C(0，4)， ∴二次函数的解析式为y＝－x2－3x＋4. ∵P在对称轴上，∴PA＝PB. ∴|PA－PC|＝|PB－PC|≤BC，即当P，B，C三点在同一条直线上时，|PA－PC|的值最大． 设直线BC的解析式为y＝kx＋m. ∴直线BC的解析式为y＝－4x＋4. 学霸智慧课堂·数学·九年级全一册(RJ) 上一页 下一页 返回首页 模型 最值 PA＋PB的值最小(P在l上) PA＋PB的值或△ABP的周长最小(P在l上) AH＋HP＋PB的值最小(PH为l上的定长) 四边形ADEB的周长最小(D，E分别在n，m上) 四边形ABTP的周长最小(A，B分别在OD，OC上) 解得 解得 当y＝0时，x＝；当x＝时，y＝1. ∴C，D. 抛物线的对称轴为x＝－＝， ∴解得 ∴直线A′B′的解析式为y＝x－2. 模型 最值 |AP－BP|的值最大(P在l上) |AP－BP|的值最大(P在l上) ∴－4a＝－3，解得a＝. y＝(x＋4)(x－1)＝x2＋x－3. 解得 ∴直线BD的解析式为y＝－x＋. 联立 解得(与点B重合，舍去)． ∴当|PD－PB|取最大值时，点P的坐标为. 令x＝－，得y＝－4×＋4＝10. ∴存在满足条件的点P，其坐标为. ∴ 解得 (2)∵抛物线y＝－x2－3x＋4的对称轴为x＝－，A(－4，0)，∴B(1，0)． ∴解得 $$