1.2.1充要条件 课件——2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

北师2019版必修上册 2.1 必要条件与充分条件（二） 什么是逆命题？ 原命题：若，则， 是条件， 是结论. 逆命题：若，则， 是条件， 是结论. 将原命题中条件与结论互换，可得到其逆命题. 思考讨论： 勾股定理：如果一个三角形是直角三角形，那么它的 两条直角边的平方和等于斜边的平方. 勾股定理逆定理：如果一个三角形的两边的平方和等 于第三边的平方.那么这个三角形是直角三角形. 根据上面两个定理，条件“三角形是直角三角形”是 结论“两边的平方和等于第三边的平方”的什么条件？ 三、充要条件 由原定理：“三角形是直角三角形”⇒“两边的平方和等于第三边的平方” 所以条件“三角形是直角三角形”是结论“两边的平方和等于第三边的平方”的充分条件； 又由逆定理：“两边的平方和等于第三边的平方”⇒“三角形是直角三角形” 所以条件“三角形是直角三角形”是结论“两边的平方和等于第三边的平方”的必要条件. 三、充要条件 一个命题中，其中是条件，是结论， 如果(条件结论)，就称“是的充分条件”； 如果(结论条件)，就称“是的必要条件”。 一般的，如果，且，那么称是的充分且必要条件，简称充要条件. 注：(1)如果，并且也可记作，读作与等价； 是的充要条件也可以说“成立当且仅当成立”或“等价. (2)充要条件是相互的，是的充要条件， 的充要条件. 三、充要条件 ①若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件． ②若p⇔q，则p是q的充要条件． ③若p⇒q，且q⇏ p，则称p是q的充分不必要条件． ④若p⇏ q，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件． ⑤若p⇏q，且q⇏p，则称p是q的既不充分也不必要条件． (1)从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件 若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 ①若A ⊆B，则p是q的充分条件． ②若B ⊆A，则p是q的必要条件． ③若A＝B，则p是q的充要条件． ④若A ⊆B且B≠ A，即A B，则p是q的充分不必要条件． ⑤若B ⊆A且A ≠B，即B A，则p是q的必要不充分条件． ⑥若A B且B A，则p是q的既不充分也不必要条件. (2)从集合的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件 例3： 在下列命题中，试判断是的什么条件. (1)：，：； (2)：，：； (3)：四边形的对角线相等， ：四边形是平行四边形. 三、充要条件 解：(1)因为“”是真命题，“”也是真命题，所以是的充要条件； (2)因为“ ”是真命题，“”是假命题，所以是的充分不必要条件； (3)因为“四边形的对角线相等四边形是平行四边形”是假命题，“四边形是平行四边形”也是假命题，所以是的既不充分也不必要条件. 综合练习 (2)，都是的必要条件，充分条件，充分条件，那么： ① 条件？ ② 条件？ ③ 条件？ （1）一个必要不充分条件是( ). 充要 充要 必要 方法小结： 对于一个命题“若，则”，利用“”和“”真假性，判断是的什么条件，一般注意先将和分别进行运算、化简，再做判断； 练习 教材P18，练习1、2、3. 作业 教材P12，习题1—1： A组第2题、B组第1题 若A ⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件 若B ⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件 若A ＝B，则p，q互为充要条件 若A B且B A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 (3)“⇔”的传递性 p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s， 则有p⇔s，即p是s的充若要条件． $$