热点专题02 基本不等式-2023-2024学年高一数学重难热点提升精讲与过关测试（人教A版2019必修第一册）

热点专题02基本不等式 考点一、两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 当且仅当“”时取“” 基本不等式 当且仅当“”时取“” 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 注意：“当且仅当时，等号成立”是指若，则即只能有 考点二、基本不等式与最值 已知都是正数，则（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值 注意：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：（1），（2）和(积)为定值，（3）存在取等号的条件，简称“一正二定三相等” 题型一 对勾型 【例1】若,则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例2】下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】若，则函数（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 【变式1-2】已知，则的最小值为_____，此时_____． 【变式1-3】已知，则的最大值为_____. 题型二 配凑法构造对勾型 【例3】函数在上的最小值是（    ） A．-2 B．1 C．2 D．3 【例4】设，则当_____时，的最小值为_____． 【变式2-1】的最小值为_____． 【变式2-2】若，则的最小值为_____． 【变式2-3】（1）已知，求函数的最小值； （2）已知，求函数的最大值. 题型三 “和定求积“型 【例5】已知x>0，y>0，且x＋2y＝4，则(1＋x)(1＋2y)的最大值为（    ） A．36 B．4 C．16 D．9 【例6】已知a＞0，b＞0，且4a＋b＝1，则ab的最大值为_____. 【变式3-1】若正数，满足，则的最大值为_____． 【变式3-2】已知正数满足，求的取值范围． 【变式3-3】已知，代数式的最大值为（     ） A． B． C．2 D． 题型四 “积定求和“型 【例7】已知，，，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【例8】已知，，且，则的最小值为_____，此时_____． 【变式4-1】若正数满足，则的最小值是_____． 【变式4-2】已知，，且，则的最小值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式4-3】若实数x、y满足，则的最小值为_____. 题型五 商式型 【例9】设，则 （    ） A． B． C． D． 【例10】，则的最小值是_____，此时a＝_____． 【变式5-1】函数 的最大值为_____. 【变式5-2】函数的最小值为_____． 【变式5-3】函数的值域是_____． 题型六 “1"的代换（提供“1”及“不提供“1”） 【例11】设为正数，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【例12】已知，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D．4 【变式6-1】已知，，，则的最小值为（    ） A．7 B． C． D． 【变式6-2】当时，的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【变式6-3】已知正数满足，则的最小值为（    ） A．5 B． C．4 D． 题型七 “1"的代换（“1”需修改） 【例13】若，，且，则 （1）的最小值为_____. （2）的最小值为_____. 【例14】已知，，且，则的最小值为_____． 【变式7-1】已知若正数、满足，则的最小值为_____． 【变式7-2】已知. (1)求证：； (2)求的最小值. 【变式7-3】若正实数x，y满足，求的最小值． 题型八 有和有积无常数型 【例15】若正数x，y满足，则的最小值是（    ） A．6 B． C． D． 【例16】，均为正实数，，则的最小值为_____. 【变式8-1】已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．1 【变式8-2】（多选）已知、，，则下列说法正确的是（    ） A．， B．的最小值为8 C．的最小值为3 D．的最小值为4 【变式8-3】已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．3 B．1 C．9 D． 题型九 有和有积有常数型 【例17】若，且，则的最小值为（    ） A．1 B．5 C．25 D．12 【例18】若正数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】若，且，则的最小值为_____，取得最小值的条件为_____. 【变式9-2】已知，且，则的最小值为_____. 【变式9-3】正数，满足，则的取值范围是_____. 题型十 求解实际问题 【例19】为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成木，每条生产线生产的产品可获得的利润s（单位：万元）与生产线