函数的概念-高一必修一同步讲义

函数的概念 【考纲解读】 1、理解函数，函数定义域，函数解析式的定义； 2、了解映射的定义： 3、掌握表示函数和求函数解析式，函数定义域，函数值域与最值的基本方法： 4、能够熟练地运用函数概念解决相关的数学问题。 【知识精讲】 一、函数的定义： 1、映射的定义：设A,B是两个非空的集合，如果按照某种对应法则「，对集合A中的任何 一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素与它对应，则称这样的对应（包括集合A,B以 及A到B的对应法则f)叫做从集合A到集合B的映射，记作：：A→B: (1)原像：在映射：A→B中，集合A中的元素，称为映射的原像： (2)像：在肤射：A→B中，集合B中与原像对应的元素，称为映射的像： (3)一一映射：设A,B是两个非空集合，「：A一B是集合A到集合B的映射，如果在这 个映射下，对于集合A中不同的元素，在集合B中有不同的像，且集合B中的每一个元素都 有原像，那么称映射：A→B是集合A到集合B的一一映射。 2、函数的定义：设A,B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f,对任意的x∈A,在 集合B中都有唯一确定的数y与它对应，则称这个映射：A→B为函数，记作：y=x,其 中x∈A,y∈B: (1)式子y()的意义：函数y等于在对应法则f下自变量x的对应值： (2)函数的定义域：在映射：A→B中，所有原像X(也称为自变量)组成的数集，称为函 数y=fx)的定义域； (3)函数的值域：在映射：A→B中，所有像y(也称为函数值)组成的数集，称为函数y=f (x的值域（注意：函数的值域是数集B的子集）： (4)函数的三要素：在函数y-x)中，定义域，对应法则和值域称为函数的三要素（注意： 这三个要素中，核心是对应法则)： (5)表示函数的基本方法：①解析法：把函数y用一个关于x的等式表示出来，这个式子称 为函数的解析式，这种表示函数的方法称为解析法：②列表法：把函数y与自变量x之间的 对应关系用表格表示出米的方法，称为列表法：③图像法：把函数y与自变量x之间的关系 用图像表示出来的方法，称为图像法： (6)判断两个函数是否相等的基本方法：如果两个函数的三要素一致，那么这两个函数相等， 对于一个函数来说，若定义域和对应法则确定了，则这个函数的值域也就确定了，因此在实 际判断两个函数是否相等时，只需看两个函数的定义域和对应法则是不是一致就可以了。 3、函数与映射的关系： (1)相同点：①有两个非空的集合A,B;②有一个确定的对应法则：③对集合A中的任 意一个原像，通过对应法则f在集合B中都有唯一的像与它对应： (2)不同点：函数的两个非空的集合A,B只能是数集，映射的两个非空的集合A,B可以 是数集，也可以是其他集合： (3)函数与映射的关系：函数一定是映射，但映射不一定是函数。 二、数集的区间表示： 1、有限区间： (1)有限区间的定义：数轴上两点之间的区间，称为有限区间： (2)有限区间的类型及其表示方法：设a,b是两个实数，且a<b。 数 集 不等式表示 区间表示 数轴表示 {xa≤x≤b} a≤xsb [a,b] {xla<x<b) a<x<b (a,b) {xla≤x<b) a≤x<b [a,b) {xa<x≤b} a<x≤b (a,b] 2、无限区间： (1)无限区间的定义：数轴上有一个端点（或没有端点）的区间，称为无限区间： (2)无限区间的类型及其表示方法：设a,b是两个实数，且a<b。 数 集 不等式表示 区间表示 数轴表示 {xa≤x} a≤x [a,+c∞) {xla<x) a<x (a,+∞) a {xx≤b} x≤b ←∞，b] 0 (xlx<b) x<b (-∞，b) 0 R -∞<X<+∞ (-∞，+∞) 0 三、函数的解析式： 1、函数解析式的定义：用运算符号和括号把数和表示数的字母连接而成的式子，称为函数的 解析式，也称为解析表达式。 (1)函数解析式的意义：函数解析式是函数三要素中的核心部分对应法则的具体反应： (2)函数解析式的形式：函数解析式可以是一个式子，也可以是多个式子（分段函数的解析 式)： 2、求函数解析式的基本方法： (1)定义法：已知函数g(x)关于×的解析式，求函数x)的解析式，基本方法是拼凑法或 换元法： (2)待定系数法：己知函数的类型，求函数x的解析式，基本方法是：①设出该类型函数 的一般式：②根据问题条件得到关于系数的方程（或方程组）：③求解方程（或方程组）求出 系数的值：④把求出的系数值代入假设式得出函数x)的解析式： (3)函数方程法：己知函数关于自变量×和函数y的混合式子（或一个等式中涉及的两个函 数)，求函数x)的解析式，基本方法是把求函数x)视为未知数建立方程（或方程组），求解 方程（或方程组）求出函数x的解析式： (4)参数法：己知函数自变量x和