2.1.1 等式的性质与方程的解集【5大题型】-【题型分类归纳】2023-2024学年高一数学同步讲与练（人教B版2019必修第一册）

2.1.1 等式的性质与方程的解 一、等式的性质 1、性质1：等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立 符号语言：如果，则对任意c，都有； 2、性质2：等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立 符号语言：如果，则对任意不为零的c，都有. 3、等式性质理解 （1）因为减去一个数等于加上这个数的相反数，除以一个数等于乘以一个数的倒数，因此上述性质中的“加上”与“乘以”，如果分别改为“减去”与“除以”，结论仍成立。 （2）等式性质的眼神 ①对称性：等式左右两边呼唤，所得结果仍是等式，即如果，那么； ②传递性：如果，，那么（也叫等量代换）。 二、恒等式 1、恒等式的含义：一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任何实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等。 2、恒等式的变形：把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式叫作代数式的恒等变形。恒等式的证明，就是通过恒等变形证明等号两边的代数式相等。 3、恒等式的证明方法：证明恒等式，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简捷。 一般可将恒等式的证明分为两类：一类是无附加条件的恒等式证明；另一类是有附加条件爱你的恒等式的证明。 4、常见的代数恒等式 （1）完全平方公式：， （2）平方差公式： （3）立方和/差公式：， （4）多项式乘多项式：， 5、十字相乘法 对于任意的，都有。 可以利用这个恒等式来进行因式分解。给定式子，如果能找到和，使得且，则 为了方便记忆，已知和，寻找满足条件的和的过程，常用图来表示：其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加等于C，正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”。 6、利用恒等式化简的步骤 （1）先看各项有无公因式，有公因式的先提取公因式； （2）提公因式后，看多项式的项数 ①若多项式为两项，则考虑用平方差公式分解； ②若多项式为三项，则考虑用完全平方公式因式分解； ③若多项式为四项或四项以上，就考虑综合运用上面的方法。 （3）若上述方法都不能分解，则考虑把多项式重新整理、变形，再按照上面步骤进行。 三、方程的解集 方程 含有未知数的等式叫做方程. 方程解（或根） 能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解. 方程的解集 把一个方程所有解组成的称为这个方程的解集. 解方程 求方程的解的过程叫做解方程. 2、一元一次方程 一元一次方程 方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做一元一次方程。 满足条件 ①必须是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的次数是1. 表示形式 或 题型一 等式的性质及应用 【例1】（2022秋·山东德州·高一校考阶段练习）已知等式，则下列变形正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023秋·云南·高一昆明一中校考开学考试）已知等式，则下列变形一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2022秋·上海·高一月考）设，下列命题中为假命题的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1-3】（2022秋·辽宁朝阳·高一建平实验中学月考）下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（ ） A．如果，那么 B．如果 ，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 题型二 恒等式的判断及应用 【例2】（2023·高一课时练习）下列等式中，属于恒等式的是（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023秋·重庆·高一开学考试）下列各式中，不一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·高一课时练习）若等式恒成立，则常数 ； ． 【变式2-3】（2022秋·高一课时练习）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（）（如图甲），将余下的部分剪接拼成一个长方形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的等式为（ ）. A． B． C． D． 题型三 二次三项式因式分解 【例3】（2023春·黑龙江大庆·高一大庆中学校考开学考试）将多项式进行因式分解，正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2023秋·山西运城·高一校考阶段练习）将下列多项式因式分解，结果中不含因式的是（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（