专题26 立体几何大题11类题型专项训练（理科专用）-备战2024年高考数学一轮复习考点帮（全国通用）

专题26 立体几何大题训练（理科） 题型一、三棱锥的相关证明及角度问题 1．（2022年全国高考乙卷数学（理）试题）如图，四面体中，，E为的中点． (1)证明：平面平面； (2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值． 2．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，． (1)求证：//平面； (2)若，求三棱锥的体积． 3．（2023年北京高考数学真题）如图，在三棱锥中，平面，．    (1)求证：平面PAB； (2)求二面角的大小． 4．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II））如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 5．如图，在三棱锥中，，，记二面角的平面角为． (1)若，，求三棱锥的体积； (2)若M为BC的中点，求直线AD与EM所成角的取值范围． 6．（2023届贵州省联合考试（五）理科数学试题）如图，在三棱锥中，，O为AC的中点． (1)证明：⊥平面ABC； (2)若点M在棱BC上，且二面角为，求的值． 题型二、直三棱柱的相关证明及角度问题 1．（2022年全国新高考I卷数学试题）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为． (1)求A到平面的距离； (2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值． 2．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点． （1）证明：； （2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小? 3．（2022年北京市高考数学试题）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点． (1)求证：平面； (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 4．（2020年天津市高考数学试题）如图，在三棱柱中，平面 ，，点分别在棱和棱 上，且为棱的中点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求二面角的正弦值； （Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值． 5．如图，在直三棱柱中，M为棱的中点，，，. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)在棱上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由. 6．如图，在三棱柱中，，，且，底面，为中点,点为上一点. （1）求证： 平面； （2）求二面角 的余弦值； （3）设，若，写出的值（不需写过程）. 7．如图，在直三棱柱中，侧棱，，且M，N分别为BB1，AC的中点，连接MN． (1)证明：平面； (2)若BA=BC=2，求二面角的平面角的大小． 题型三、斜三棱柱的相关证明及角度问题 1．（2019年浙江省高考数学试题）如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是的中点. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的余弦值. 2．（2023届广东省二模数学试题）在三棱柱中，，，. (1)证明:； (2)若，，求平面与平面夹角的余弦值. 3．在三棱柱中中，为中点，平面平面. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 题型四、三、四棱台的相关证明及角度问题 1．（2023届浙江省（二模）数学试题）如图，在三棱台中，. (1)求证：平面平面； (2)若四面体的体积为2，求二面角的余弦值. 2．（2023届湖北省调研数学试题）如图，四棱台的下底面和上底面分别是边和的正方形，侧棱上点满足. (1)证明：直线平面； (2)若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值. 3．如图，在四棱台中，，，四边形ABCD为平行四边形，点E为棱BC的中点． (1)求证：平面； (2)若四边形ABCD为正方形，平面ABCD，，求二面角的余弦值． 4．如图，在三棱台中，底面是边长为2的正三角形，侧面为等腰梯形，且，为的中点． （1）证明：； （2）记二面角的大小为，时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 5．（2023年浙江省联考数学试题）如图，在四棱台中，底面是边长为2的菱形，，平面平面，点分别为的中点，均为锐角. (1)求证：； (2)若异面直线与所成角正弦值为，四棱锥的体积为1，求二面角的平面角的余弦值. 6．（2023年浙江省教学质量检测数学试题）如图，在三棱台中，三棱锥的体积为，的面积为，，且平面． (1)求点到平面的距离； (2)若，且平面平面， 求二面角的余弦值． 题型五、四棱锥的相关证明及角度问题 1．（2022年全国高考甲卷数学（理）试题）在四棱锥中，底面． (1)证明：； (2)求PD与平面所成的角的正弦值． 2．（2021年全国新高考II卷数学试题）在四棱锥中，底面是正方形，若． （1）证明：平面平面； （