几何动点问题中的三角形和四边形存在性问题 2023年中考数学解答题专项复习讲义

初中数学 几何动点问题中的三角形和四边形存在性问题 第一：解题策略 在解决几何动点问题中的三角形和四边形存在性问题时，一般有以下几种情况： 1.等腰三角形存在性问题：在解等腰三角形存在性问题时，通常设出由动点的运动而处于不断变化的线段的长度为x，其次结合几何图形的性质用x表达出三角形的各个边长，利用等腰三角形的概念，有2条边相等的三角形是等腰三角形，进行分类讨论，找出等量关系，列出方程求解，在解出方程后注意要进行检验。 2.直角三角形存在性问题：在解直角三角形存在性问题时，通常设出由动点的运动而处于不断变化的线段的长度为x，其次结合几何图形的性质用x表达出三角形的各个边长，利用勾股定理的逆定理，同时进行分类讨论，找出等量关系，列出方程求解，在解出方程后注意要进行检验。 3.全等三角形存在性问题：在解全等三角形存在性问题时，通常设出由动点的运动而处于不断变化的线段的长度为x，其次求出或者用x表示出已知三角形的各边长，然后找出或者用x表示出动态三角形的各边长，最后利用全等三角形的判定定理，建立方程求解，在解出方程后注意要进行检验。 4.相似三角形存在性问题：在解相似三角形存在性问题时，通常设出由动点的运动而产生的处于不断变化的线段的长度为x，其次求出或者用x表示出已知三角形的各边长，然后找出或者用x表示出动态三角形的各边长，最后利用相似三角形的判定定理，建立方程求解，在解出方程后注意要进行检验。 5.平行四边形的存在性问题：在解平行四边形存在性问题时，通常设出由动点的运动而产生的处于不断变化的线段的长度为x，其次求出或者用x表示出平行四边形、矩形、菱形或正方形的其他各边的长度，最后利用平行四边形、矩形、菱形或正方形的判定定理，建立方程求解，在解出方程后注意要进行检验。 可见在解决此类问题时，关键是设出未知数x，并用x表示出各线段的长度，利用各几何图形的判定，列出方程进行求解，是此类题型的共性，但要注意，在解决此类问题时，要注意分类讨论。 第二：例题解析 例题1、如图，在四边形ABCD中，，角B为直角，，，，动点E从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，动点F从点C出发，在线段CB上以每秒2cm的速度运动向点B运动，点E、F分别从点A、C同时出发，当点F运动到点B时，点E随之停止运动，设运动的时间为t（秒）． (1)用含t的代数式表示DE，______； (2)若四边形EFCD是平行四边形，求此时t的值； (3)是否存在点F，使△FCD是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由题意得的cm，即可得出结论． （2）由平行四边形的性质得，再分两种情况，当时，当时，分别求解即可． （3）过D作于G，则四边形ABGD是矩形，得，，再由勾股定理求出，然后分情况讨论：①②，③，由等腰三角形的性质和勾股定理分别求解即可． 【详解】（1）解：经过ts后cm， 则，， 故答案为：． （2）当时，解得：； ∵， ∴， ∴当时四边形EFCD是平行四边形． （3）存在点F，使△FCD是等腰三角形，理由如下： 过D作于G，则四边形ABGD是矩形， ∴，， ∴， 在Rt△CDG中，由勾股定理得： 分情况讨论： ①，如图1，则，解得：； ②，如图2， ∵， ∴，∴，，∴； ③，如图3，在RT△FDG中， 由勾股定理得： ∵， ， ∴， ，解得：， 综上所述，存在点F，使△FCD是等腰三角形，t的值为或5或． 例题2、如图，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1． (1)求抛物线的表达式； (2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：当x＝0时，y＝4， ∴C （0，4）， 当y＝0时，x+4＝0， ∴x＝﹣3， ∴A （﹣3，0）， ∵对称轴为直线x＝﹣1， ∴B（1，0）， ∴设抛物线的表达式：y＝a（x﹣1）•（x+3）， ∴4＝﹣3a， ∴a＝﹣， ∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）•（x+3）＝﹣x2﹣x+4； （2）如图1， 作DF⊥AB于F，交AC于E， ∴D（m，﹣﹣m+4），E（m，m+4）， ∴DE＝﹣﹣m+4﹣（m+4）＝﹣m2﹣4m， ∴S△ADC＝OA＝•（﹣m2﹣4m）＝﹣2m2﹣6m， ∵S△ABC＝＝＝8， ∴S＝﹣2m2﹣6m+8＝﹣2（m+）2+， ∴当m＝﹣时，S最大＝， 当m＝﹣时，y＝﹣＝5， ∴D（﹣，5）；