【数学思想】第2讲：转化思想在平面向量中的应用-备战2024高考数学二轮复习讲义

第2讲 转化思想在平面向量中的应用 转化思想是高中生必备的灵活性思维方式，也是解决数学问题的有效途径之一，其要点在于将陌生的问题情形转化为熟悉的情形，将复杂、抽象的数学问题简单化、直观化，或从不同角度切入以分析问题，逐步探索出解决问题的有效方法。 平面向量作为高中数学教学的重要内容之一，平面向量做为载体内容与三角函数、解三角形、平面解析几何等都有重要联系，而平面向量中也常常遇到转化思想的相关应用，例如用基底表示平面向量、等和线转化解决系数和问题、极化恒等式转化求解数量积问题等在平面向量中都有广泛的重要应用，而本文会重点就转化思想在平面向量中的几类应用展开详细讲解。 【应用一】转化思想在用基底表示平面向量中的应用 我们在学习平面向量基本定理时，会学习到基底的概念，我们不妨先来复习一下平面向量基本定理，如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． （1）基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底． （2）基底给定，同一向量的分解形式唯一．　 我们在高考复习及高考题中也常常遇见给定基底来表示某一向量的题型，解题的关键在于把待表示的向量转化到某个三角形或平行四边形中用向量的加法或减法先表示出来，再用转化思想与平行关系用基底来表示即可。例如下面这道例题： 【例1.1】（2018·全国·高考真题）在△中，为边上的中线，为的中点，则 A． B． C． D． 本题没有图象，我们不妨先作图在研究，如图所示： 要表示,则需在在三角形中找到一组基础关系，由于为的中点，所以，再结合的关系可得到，即，从而达到用基底来表示 【思维提升】 通过本题我们不难发现，对于已知基底来表示向量的问题，我们通常先找到一组基础的关系，再通过转化思想转化为用基底来表示，通过学习本题达到学习一道题会一类题的效果。未来我们也可以用同样的方法来研究较复杂的基底问题 【变式1.1】（2022·全国·统考高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（2020·山东·统考高考真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式1.3】（2020·海南·高考真题）在中，D是AB边上的中点，则=（    ） A． B． C． D． 【应用二】转化思想在等和线解决平面向量系数和中的应用 我们在学习平面向量时，经常会遇到形如“，则的取值范围是？，，则的取值范围是？”等题型，这里都在求系数和的值或范围，有时还会遇到 “”等复杂类型。我们也不妨先学习下平面向量的等和线。 如图，为所在平面上一点，过作直线，由平面向量基本定理知： 存在，使得 下面根据点的位置分几种情况来考虑系数和的值 ①若时，则射线与无交点，由知，存在实数，使得 而，所以，于是 ②若时， （i）如图1，当在右侧时，过作，交射线于两点，则 ，不妨设与的相似比为 由三点共线可知：存在使得： 所以 （ii）当在左侧时，射线的反向延长线与有交点，如图1作关于的对称点，由（i）的分析知：存在存在使得： 所以 于是 综合上面的讨论可知：图中用线性表示时，其系数和只与两三角形的相似比有关。 我们在解此类题型时，关键在于转化为上述讲解的几何问题求解，利用几何关系得到系数和的相关范围，例如下面这道例题： 【例2】（全国·高考真题）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为 A．3 B．2 C． D．2 本题我们可以先结合题意作图，如图所示： 由几何关系可知+的范围为圆上与BD平行的切线处取得，即图中过F点与圆相切时取得最大值，最大值为 【思维提升】 通过本题我们不难发现，对于求系数和问题，我们常常可以利用平面向量系数和的几何关系来快速求解，通过学习本题达到学习一道题会一类题的效果。未来我们也可以用同样的方法来研究系数和中较复杂的其他形式的最值问题 【变式2.1】 已知是内一点,且,点在内(不含边界),若,则的取值范围是 A. B. C. D. 【变式2.2】 如图,已知为锐角三角形的外心,,且,求的取值范围？ 【变式2.3】（2023·浙江·高三专题练习）如图，在直角梯形中， ， ∥， ， ，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若，其中，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【应用三】转化思想在极化恒等式解决平面向量中的应用 我们在学习平面向量时，经常会遇到向量的数量积求值或求范围问题，有时我们也可以建立平面直角坐标系来求解，但有时