2.2.1双曲线及其标准方程（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第一册）

2.2.1双曲线及其标准方程 温故知新 1、 椭圆的定义 和 等于常数 2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹. 平面内与两定点F1、F2的距离的 |MF1|+|MF2|=2a( 2a>|F1F2|>0) 思考： 等于常数 的点M的轨迹是什么呢？ 平面内与两定点F1、F2的距离的 差 数 学 实 验 [1]取一条拉链; [2]如图把它固定在板上的两点F1、F2； [3] 拉动拉链（M） 思考：拉链运动的轨迹是什么？ 动画演示 ①如图(A)， |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a ②如图(B)， 上面两条曲线合起来 叫做双曲线，每一条 叫做双曲线的一支. 由①②可得： | |MF1|-|MF2| | = 2a ＞0 （差的绝对值） |MF1|-|MF2|= - |F1F|= -2a 请参照椭圆的定义， 说出双曲线的定义. ① 这两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距. o F 2 F 1 M 定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线. （1） 说明： （2）双曲线有两支 （3）2a < 2c ①若2a=2c,则轨迹是什么？ ②若2a>2c,则轨迹是什么？ ③若2a=0,则轨迹是什么？ 此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线 此时轨迹不存在 此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线 F1 F2 F1 F2 分3种情况来看： 定义中为什么强调常数要小于|F1F2|且不等于0（即0<2a<2c）？如果不对常数加以限制 ，动点的轨迹会是什么？ 思考：满足下面条件的点的轨迹是什么？ o F 2 F 1 M 1、当||MF1|-|MF2||= 2a<|F1F2|时， 2、当 ||MF1|-|MF2||= 2a=|F1F2|时， 3、当||MF1|-|MF2||= 2a >|F1F2|时,M点的轨迹不存在 4、当||MF1|-|MF2||= 2a=0时， M点轨迹是双曲线 其中当|MF1|-|MF2|= 2a时，M点轨迹是双曲线中靠近F2的一支； 当|MF2| - |MF1|= 2a时，M点轨迹是双曲线中靠近F1的一支. M点轨迹是在直 线F1F2上且以F1和F2为端点向外的两条射线。 M点的轨迹是线段F1F2 的垂直平分线 。 结论： 5. M在右支上 |MF1|-|MF2| =2a M在左支上 |MF1|-|MF2|= - 2a 迪拜双曲线建筑 生活中的双曲线 双曲线型自然通风冷却塔 生活中的双曲线 可口可乐的下半部 玉枕的形状 生活中的双曲线 F 2 F 1 M x O y 求曲线方程的步骤： 双曲线的标准方程 1. 建系. 以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系 2.设点． 设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0) 3.列式 |MF1| - |MF2|=±2a 4.化简 此即为焦点在x轴上的双曲线的标准方程 F 2 F 1 M x O y O M F2 F1 x y 若建系时,焦点在y轴上呢? 看 前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上 2、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系? 1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？ 问题 定 义 方 程 焦 点 a.b.c的关系 F（±c，0） F（±c，0） a>0，b>0，但a不一定大于b，c2=a2+b2 a>b>0，a2=b2+c2 双曲线与椭圆之间的区别与联系 ||MF1|－|MF2||=2a |MF1|+|MF2|=2a 椭 圆 双曲线 F（0，±c） F（0，±c） 双曲线的标准方程： 椭圆的标准方程： 巩固提升1判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量 的值 解： （1）是双曲线， （2）是双曲线， （3）是双曲线， （4）是双曲线， 2、已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等于6，则 (1) a=____ , c =_____ , b =_____ (2) 双曲线的标准方程为______________ (3)双曲线上一点Ｐ， |PF1|=10, 则|PF2|=_________ 3 5 4 4或16 | |PF1| - |PF2| | = 6 3.求适合下列条件的双曲线的标准方程。 ①焦点在在轴