第04讲 空间直线、平面的垂直-备战2024年高考数学《解读•突破•强化》一轮复习讲义（新高考专用）

第04讲　空间直线、平面的垂直 考试要求　 1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系. 2.掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单应用． 1.直线与平面垂直 (1)定义：一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做平面α的________，平面α叫做直线l的________．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条________直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线________ ⇒a∥b 2.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是____________，就说这两个平面互相垂直． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面过另一个平面的______，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的______，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 1．若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线． 2．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． 3．垂直于同一条直线的两个平面平行． 4．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直． 5．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． 1、 下列说法中正确的是 ①如果直线l与平面α内的无数条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直 ②若直线l与平面α内的两条直线都垂直，则l⊥α ③若直线a⊥α，b⊥α，则a∥b ④若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面 ⑤若α⊥β，a⊥β，则a∥α ⑥两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面 ⑦平面内的一条直线如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直． 2.(多选)下列命题中不正确的是(　　) A．如果直线a不垂直于平面α，那么平面α内一定不存在直线垂直于直线a B．如果平面α垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线平行于平面β C．如果直线a垂直于平面α，那么平面α内一定不存在直线平行于直线a D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 3.如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中与平面PCD垂直的平面是（    ） A．平面ABCD B．平面PBC C．平面PAD D．平面PCD 4．“直线与平面α内无数条直线垂直”是“直线与平面α垂直”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C.充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点一　直线与平面垂直的判定与性质 例1如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥平面PAD,AB∥CD,PD=AD,E 是PB的中点,F是DC上的点,且DF=AB,PH为△PAD中边AD上的高.求证: (1)PH⊥平面ABCD; (2)EF⊥平面PAB. 【对点演练1】.如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点． 证明：(1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE. 【对点演练2】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱CD，A1D1的中点． (1)求证：AB1⊥BF； (2)求证：AE⊥BF； (3)棱CC1上是否存在点P，使BF⊥平面AEP？若存在，确定点P的位置，若不存在，说明理由． 考点二　平面与平面垂直的判定与性质 例2 （2023·河南安阳期末）如图，在正四棱锥P - ABCD中，侧棱长为，底面边长为2，点E，F分别为CD，CB中点．求证： (1)PA⊥EF； (2)平面PAD⊥平面PBC. 【对点演练1】如图，四棱锥的底面是边长为a的菱形，平面平面，为的中点. 求证：平面平面. 【对点演练2】如图，在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD为菱形，其中PA＝PD＝AD＝2，∠BAD＝60°，Q为AD的中点． (1)求证：AD⊥平面PQB； (2)若平面PAD⊥平面ABCD，且PM＝PC，求四棱锥M-ABCD的体积． 考点三　平行、垂直关系的综合问题 例3 （2023·河北石家庄模拟）如图，在直三棱柱ABC - A1B1C1中，M为棱AC的中点，AB＝BC，AC＝2，AA1＝. (1)求证：B1C∥平面A1BM； (2)求证：AC1⊥平面A1BM