第06讲 向量法求空间角与距离-备战2024年高考数学《解读•突破•强化》一轮复习讲义（新高考专用）

第6讲　向量法求空间角与距离 【考试要求】 1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题. 2.能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用. 1.异面直线所成角 若异面直线l1，l2所成的角为θ，a，b分别是直线l1，l2的方向向量，则cos θ＝｜cos＜a，b＞｜＝. 两异面直线所成的角为锐角或直角，而不共线的向量的夹角的范围为（0，π），所以公式中要加绝对值. 2.直线与平面所成角 如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，θ为l与α所成的角，则sin θ＝｜cos＜a，n＞｜＝ . 直线与平面所成角的范围为，而向量之间的夹角的范围为[0，π]，所以公式中要加绝对值. 3.平面与平面的夹角 （1）平面与平面的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角，如图①.若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝｜cos＜n1，n2＞｜＝＝； （2）二面角：二面角α－l－β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则｜cos φ｜＝cos θ＝，如图②③. 注意二面角与两个平面的夹角的区别与联系，二面角的范围为[0，π]，两个平面的夹角的范围为. 4.空间距离 （1）点到直线的距离： 设＝a，直线l的一个单位方向向量为u，则向量在直线l上的投影向量＝（a·u）u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝ ＝； （2）点到平面的距离：已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量的长度.因此PQ＝＝＝ ； （3）两异面直线间的距离：即两条异面直线公垂线段的长度. 1、下列说法正确的是（ ） A两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角 B直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角． C两异面直线所成角的范围是，直线与平面所成角的范围是 D直线的方向向量为u，平面的法向量为n，则线面角θ满足sin θ＝cos〈u，n〉． 2．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos 〈m，n〉＝－，则直线l与平面α所成的角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 3．已知直线l1的方向向量s1＝(1,0,1)与直线l2的方向向量s2＝(－1,2，－2)，则直线l1和l2所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 4．平面α的一个法向量为m＝(1,2，－2)，平面β的一个法向量为n＝(2,2,1)，则平面α与平面β夹角的正切值为(　　) A. B. C. D. 5.已知点M(0，1，－2)，平面α过原点，且平面α的法向量n＝(1，－2，2)，则点M到平面α的距离为________. 考点一 异面直线所成角 例1、若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积为，AB＝1，则直线AB1与CD1所成的角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 【对点演练1】如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，＝λ(0<λ<1)，若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为，则λ的值为______． 考点二直线与平面所成的角 例2、（2023·广东·统考二模）如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，，，，． (1)证明： (2)若平面平面PCD，且，求直线AC与平面PBC所成角的正弦值． 【对点演练1】如图所示，在四棱维中，面，且PA=AB=BC==2. (1)求与所成的角； (2)求直线与面所成的角的余弦值. 【对点演练2】（2022·全国甲卷）在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝. （1）证明：BD⊥PA； （2）求PD与平面PAB所成的角的正弦值. 【对点演练3】（2021·浙江高考）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝120°，AB＝1，BC＝4，PA＝，M，N分别为BC，PC的中点，PD⊥DC，PM⊥MD. （1）证明：AB⊥PM； （2）求直线AN与平面PDM所成角的正弦值. 【对点演练4】如图，在六面体PACBD中，△PAB是等边三角形，平面PAB与平面ABD所成角为30°，PC＝AB＝AD＝BD＝AC＝BC＝4. (1)证明：AB⊥PD； (2)若点E为线段BD上一动点，求直线CE与平面PAB所成角的正切值的最大值．