第05讲 空间向量与线、面位置关系-备战2024年高考数学《解读•突破•强化》一轮复习讲义（新高考专用）

第05节　空间向量与线、面位置关系 【考试要求】 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直. 4.理解直线的方向向量及平面的法向量. 5.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系. 6.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理. 1.空间向量及其有关概念1.向量共线与向量共面定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使________． (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使________． 2．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得________． 3．空间向量的数量积 (1)两向量的夹角 ①已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则________叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． ②范围：0≤〈a，b〉≤π. (2)两个非零向量a，b的数量积： a·b＝________________． 空间向量基本定理的3点注意：①空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底；②由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故0不能作为基向量；③基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示. 2.空间向量的数量积及坐标运算 （1）两个非零空间向量的数量积 ①a·b＝ ； ②a⊥b⇔a·b＝0； ③设a＝（x，y，z），则｜a｜2＝a2，｜a｜＝. （2）空间向量运算的坐标表示 a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），λ∈R 向量和 a＋b＝（a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3） 向量差 a－b＝（a1－b1，a2－b2，a3－b3） 数乘向量 λa＝（λa1，λa2，λa3） 数量积 a·b＝ 共线 a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（λ∈R，b≠0） 垂直 a⊥b⇔ ＝0 夹角公式 cos＜a，b＞＝ 3.直线的方向向量与平面的法向量 （1）直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量； （2）平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a为平面α的法向量； （3）方向向量和法向量均是非零向量且不唯一；同一条直线的方向向量共线；同一个平面的法向量共线. 4.空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2⇔n1＝kn2（k∈R） l1⊥l2 n1⊥n2⇔ ＝0 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m⇔n·m＝0 l⊥α n∥m⇔ （k∈R） 平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m⇔n＝km（k∈R） α⊥β n⊥m⇔n·m＝0 1、 判断下列判断正确的是 ①空间中任意两个非零向量a，b共面 ②若A，B，C，D是空间中任意四点，则有＋＋＋＝0. ③空间中模相等的两个向量方向相同或相反 ④若空间中P，A，B，C四点共面，则＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点． ⑤对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb. ⑥若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α 2.(多选)(2021·长沙质检)下列各组向量中，是平行向量的是(　　) A.a＝(1，2，－2)，b＝(－2，－4，4) B.c＝(1，0，0)，d＝(－3，0，0) C.e＝(2，3，0)，f＝(0，0，0) D.g＝(－2，3，5)，h＝(16，－24，40) 3、如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，设＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　) A．－a＋b＋c B.a＋b＋c C．－a－b－c D．－a－b＋c 4、平面α的法向量为n＝(1，－1，2)，＝(2，0，－1)，那么直线AB与平面α的关系是________. 5、设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m＝________. 6、已知，，则，夹角的余弦值______. 7、已知向量，，若，则实数m的值是________.若，则实数m的值是____