专题10 模型构建专题：“手拉手”模型——共顶点的等腰三角形压轴题三种模型全攻略-【常考压轴题】2023-2024学年八年级数学上册压轴题攻略(苏科版）

专题10 模型构建专题：“手拉手”模型——共顶点的等腰三角形压轴题三种模型全攻略 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【类型一 共顶点的等边三角形】 1 【类型二 共顶点的等腰直角三角形】 11 【类型三 共顶点的一般等腰三角形】 18 【典型例题】 【类型一 共顶点的等边三角形】 例题：（2023·全国·八年级假期作业）如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．    (1)求证：BD=CE； (2)求证：△ABM≌△ACN； (3)求证：△AMN是等边三角形． 【变式训练】 1．（2023春·山西运城·八年级统考期中）如图，点C为线段上一点，、都是等边三角形，、交于点M，、交于点，、交于点，连接，下列说法正确的个数有 个． ①；②；③；④；⑤若，则．    2．（2023秋·四川凉山·八年级统考期末）如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连结．    求证：(1)； (2)为等边三角形； 3．（2021春·广东佛山·八年级校考阶段练习）已知图1是边长分别为a和b的两个等边三角形纸片和三角形叠放在一起（C与重合）的图形．    (1)将绕点C按顺时针方向旋转，连接，．如图2：在图2中，线段与之间具有怎样的大小关系？证明你的结论； (2)若将上图中的，绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度，连接、，如图3：在图3中，线段与之间具有怎样的大小关系？证明你的结论： (3)根据上面的操作过程，请你猜想当为多少度时，线段的长度最大，最大是多少？当为多少度时，线段的长度最小，最小是多少？请直接写出答案． 4．（2023春·广东梅州·七年级校考期末）【初步感知】 (1)如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点（点D不与点B，点C重合）．以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】 (2)如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，猜想并证明： ①与的位置关系为： ； ②线段、、之间的数量关系为： ； 【拓展应用】 (3)如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接、．请问：是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由．      【类型二 共顶点的等腰直角三角形】 例题：（2023春·湖北黄冈·八年级统考期中）如图，和都是等腰直角三角形，．    (1)【猜想】：如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是________，位置关系是________． (2)【探究】：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由； (3)【拓展】：把绕点在平面内自由旋转，若，，当，，三点在同一直线上时，则的长是________． 【变式训练】 1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在等腰直角三角形和中，，点E在边上，与交于点F，连接． (1)求证：； (2)求证：． 2．（2023春·八年级课时练习）（1）问题发现：如图1，与均为等腰直角三角形，，则线段、的数量关系为_______，、所在直线的位置关系为________； （2）深入探究：在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，为中边上的高，请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由． 3．（2023·山东枣庄·统考二模）感知：如图①，和△ADE都是等腰直角三角形，，点B在线段上，点C在线段上，我们很容易得到，不需证明． (1)探究：如图②，将△ADE绕点A逆时针旋转α（），连接和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由． (2)应用：如图③，当△ADE绕点A逆时针旋转，使得点D落在的延长线上，连接．求： ①的度数； ②若，，则线段的长是多少？ 【类型三 共顶点的一般等腰三角形】 例题：（2023春·山东泰安·七年级校考开学考试）如图，与都是等腰三角形，相交于点．    (1)试说明：； (2)求的度数． 【变式训练】 1．（2023秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，已知中，．分别以、为腰在左侧、右侧作等腰三角形．等腰三角形，连接、．    (1)如图1，当时， ①、的形状是____________； ②求证：． (2)若， ①如图2，当时，是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由； ②如图3，当时，是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由． 2．（2023秋·全国·八年级专题练习）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，和为“同源三角形”，，，与为“同源角”． (1)如图1，和为“同源三角形”，试判断与的数量关系，并说明理由． (2)如图