专题03 三角函数1 三角恒等变换（3大重难点详细讲解）-备战2024高考数学重难点及压轴题突破(2)

第01讲 三角恒等变换 难点1：三角函数求值 在考试中，我们得到的三角函数往往不是最简形式的三角函数，我们需要对其进行化简，得到最简的三角函数值，进而对题目进行求解。 常见的三角函数的公式： ，，，， ，， ， ，， 【例题】（2022.云南·云南民族大学附属中学校考模拟预测）已知，，且，则 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意， 我们知道了的值，为了求的值，我们知道函数在上单调递增，在上单调递减，而我们知道，因此知道了的度数是小于的，便能求出的值。 ∵且， ∴， ∴， 题目给出了的值，我们已经求出了和的值，利用的取值范围求出的值，由于我们无法知道的的范围，因此需要分类讨论，进而求出的值。 ∵， ∴，， ∴， 当时， 在求的时候，我们发现，并没法直接求出，但题目给出了，我们将看做一个整体，那么就可以看作是减去，那么便可以利用两角和的正弦公式来求出。 . 不合题意，舍去; 当时， 同理可求得，符合题意. 综上：. 故选：A. 【变式训练1】（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）若，则 A.0 B. C.3 D.7 【变式训练2】（2023.全国·模拟预测）已知，则 A.为第二象限角 B. C. D. 【答案】BC 【解析】由题意， ∵ ， ∴有 ， ∴得到 ， ∵ ， ∴ ， ∴ 且 为第一象限角， ∴ ，故A不正确，B正确; ∵ ， ∴ ， ∴ ，故C正确; ∵ ， ∴ ，故D不正确. 故选：BC. 难点2：三角函数化简 在考试中，题目所给的三角函数往往不是最简形式，我们无法直接判断出选项，需要对三角函数进行一系列化简后才能去分析函数的性质。 【例题】（2023·河北石家庄·正定中学校考模拟预测）已知函数，则下列说法错误的是 A. 的值域为 B. 的单调递减区间为 C. 为奇函数， D. 不等式的解集为 【答案】D 【解析】由题意， 在中， 我们发现这个函数无法直接看出她的单调性，奇偶性，值域等，而且包含的有和平方项，过于复杂，因此我们考虑先将函数进行化简，然后再研究其性质。 ， A项， 我们发现函数是乘上，我们知道型函数的取值范围是，于是便得出函数的取值范围。 ∴ ， 故选项A正确; B项， 我们知道型函数中函数在上单调递增，但由于函数有项，因此在上单调递减，便可求出函数的单调递减区间。 ∵， ∴ ， ∴的单调递减区间为， 故选项B正确; C项， ∵， 所以在中， ∴为奇函数， 故选项C正确; D项， 我们将方程代入，对不等式进行一个化简，然后代入对应的区间，解不等式方程，即可得出该不等式的解集。 ∵， ∴， ∴， 解得： ， ∴不等式的解集为 ， 故选项D错误. 故选: D. 【变式训练】（2022.山西朔州·统考三模）下面关于函数的结论，其中错误的是 A. 的值域是 C. 的图象关于直线对称 B. 是周期函数 D. 当时 难点3：与二次函数（或一元二次方程及不等式）相关复合 遇到三角函数与二次函数复合的题目，有以下处理思路： （1）设出参数，求出参数的取值范围； （2）写出和二次函数（或一元二次方程及不等式）表达式，将参数取值范围作为二次函数定义域； （3）利用二次函数（或一元二次方程及不等式）求参数。 【例题】（2023.天津南开.南开中学校考模拟预测）已知，则角所在的区间可能是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意， 由题目条件我们发现左边是和相加，右边和相乘，我们要求的是角所在区间，也就是求角的大小，而和相乘可以化简成，可以得到的范围，于是我们设这个等式为，从而求出整个数值的范围。 令 ， 则， 我们知道和的平方和为1，而，于是考虑将二者联立解出和的和。而需要注意的是和的和（也就是）的范围，其对应的函数值是不大于2的，要舍去不符合条件的值。 ∵， ∴，解得：或（舍）， ∴在第二或第四象限，排除A和D， ∵， 当时，，不符题意，舍去，排除B， ∴只有答案满足， 故选：. 【总结】对于三角函数与二次函数（或一元二次方程及不等式）相结合的题注意事项： （1）要将设出的参数取值范围作为二次函数定义域； （2）巧妙利用完全平方公式，平方和公式，和的平方和为1等公式。 【变式训练1】（2023·江苏南京·校考二模）已知函数 ，则下列说法正确的有 A. 函数 为偶函数 B. 函数 的最小值为 -2 C. 函数 的最大值为 2 D. 函数 在 上有两个极值点 【变式训练2】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知为钝角，，则的值为 . $$第01讲 三角恒等变换 难点1：三角函数求值 在考试中，我们得到的三角函数往往不是最简形式的三角函数，我们需要对其进行化简，得到最简的三角