广东省惠州市惠东县惠东荣超中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题

惠东荣超中学高二年级数学科开学考试 考试时间：120分钟；试卷总分：150分 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请在答题卡上填涂相应选项． 1. 已知复数z 满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 2. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，那么等于（ ） A. B. C. D. 3. 某水果店老板为了了解葡萄的日销售情况，记录了过去10天葡萄的日销售量（单位：），结果如下：43，35，52，65，40，54，49，38，62，57.一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求，店长希望每天的葡萄尽量新鲜，又能60％地满足顾客的需求（在100天中，大约有60天可以满足顾客的需求），每天大约应进（ ）千克葡萄. A 49 B. 51 C. 53 D. 55 4. 如图所示的正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，若，则该三角形一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 不能确定 6. 是两条不同直线， 是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（ ） A. 16 B. C. D. 21 8. 在中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且若，外接圆的半径为1，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有两个或以上选项符合题目要求，部分选对得2分，全部选对得5分，请在答题卡上填涂相应选项． 9. 现有一组数据：．记其平均数为，中位数为，方差为，则（ ） A. B. C. 新数据：的平均数为 D. 新数据：的方差为 10. 若向量，满足，，则（ ） A. B. 与的夹角为 C. D. 在上的投影向量为 11. 函数的部分图像如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. 直线是函数图像的一条对称轴 B. 函数图像关于点对称 C. 函数的单调递增区间为 D. 将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像 12. 在直三棱柱中，，，，点在棱上，，是的中点，则（ ） A. 三棱柱的侧面积为 B. 三棱柱外接球表面积为 C. ∥平面 D. 平面 三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分． 13. 已知复数满足，则________． 14. 陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺立体结构图.已知，底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积是______. 15. 将曲线上所有点向左平移个单位，得到函数的图象，则的最小值为__________. 16. 某校研究性学习小组想要测量某塔的高度，现选取与塔底在同一个水平面内的两个测量基点A与，现测得，，米，在点A处测得塔顶的仰角为，则塔高为_________米． 四、解答题：共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 设向量 （1）若向量 与向量 平行，求 的值； （2）若向量 与向量 互相垂直，求 的值. 18. 如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形，是的中心，底面，是的中点. （1）求证：平面； （2）若，求三棱锥体积. 19. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调递增区间； （3）求在区间上的最大值和最小值. 20. 我国是世界上严重缺水的国家之一，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样获得了某年户家庭的月均用水量（单位：），将数据按照、、、、分成组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，求全市家庭月均用水量平均数的估计值（精确到）； （2）求全市家庭月均用水量的分位数的估计值（精确到）． 21. 如图，三棱锥中，，. （1）求证