2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨全国高中数学联合竞赛一试及加试试题（A卷）

2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨2023年全国高中数学联合竞赛 一试（A卷） 说明： 1.评阅试卷时，请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次. 2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次. 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分. 1. 设复数（i为虚数单位），若正整数满足，则的最大值为______. 2. 若正实数，满足，，则的值为______. 3. 将一枚均匀的骰子独立投掷三次，所得的点数依次记为，，，则事件“”发生的概率为______. 4. 若平面上非零向量，，满足，，，则最小值为______. 5. 方程的最小的20个正实数解之和为______. 6. 设，，为正数，.若，为一元二次方程的两个根，且，，是一个三角形的三边长，则的取值范围是______. 7. 平面直角坐标系中，已知圆与轴、轴均相切，圆心在椭圆内，且与有唯一的公共点.则的焦距为______. 8. 八张标有，，，，，，，正方形卡片构成下图.现逐一取走这些卡片，要求每次取走一张卡片时，该卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边（例如可按，，，，，，，的次序取走卡片，但不可按，，，，，，，的次序取走卡片），则取走这八张卡片的不同次序的数目为______. 二、解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9. 平面直角坐标系中，抛物线，为的焦点，，为上的两个不重合的动点，使得线段的一个三等分点位于线段上（含端点），记为线段的另一个三等分点.求点的轨迹方程. 10. 已知三棱柱的9条棱长均相等.记底面所在平面为.若的另外四个面（即面，，，）在上投影的面积从小到大重排后依次为，，，，求的体积. 11. 求出所有满足下面要求的不小于1的实数：对任意，，总存在，，使得. 2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨2023年全国高中数学联合竞赛 加试（A卷） 说明： 1.评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分. 2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次. 12. 如图，是以为直径的固定的半圆弧，是经过点及上另一个定点的定圆，且的圆心位于内.设是的弧（不含端点）上的动点，，是上的两个动点，满足：在线段上，，位于直线的异侧，且.记的外心为.证明： （1）点在外接圆上； （2）为定点. 13. 正整数称为“好数”，如果对任意不同于正整数，均有，这里，表示实数的小数部分.证明：存在无穷多个两两互素的合数均为好数. 14. 求具有下述性质的最小正整数：若将中的每个数任意染为红色或者蓝色，则或者存在9个互不相同的红色的数满足，或者存在10个互不相同的蓝色的数满足. 15. 设.在方格表的每个小方格中填入区间中的一个实数.设第行的总和为，第列的总和为，.求的最大值（答案用含的式子表示）. 2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨2023年全国高中数学联合竞赛 一试（A卷） 说明： 1.评阅试卷时，请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次. 2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次. 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分. 【1题答案】 【答案】2 【2题答案】 【答案】20 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】10 【8题答案】 【答案】392 二、解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】. 2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨2023年全国高中数学联合竞赛 加试（A卷） 说明： 1.评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分. 2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次. 【12题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【13题答案】 【答案】证明见解析 【14题答案】 【答案】408. 【15题答案】 【答