中考数学专项复习——二次函数与三角形存在性问题

中考数学几何模型 二次函数三角形相似存在性问题 1.二次函数三角形相似存在性问题(初三) 如图,抛物线与轴交于两点,点,分别位于原点的左、右两侧,,过点的直线与轴正半轴和抛物线的交点分别为, (1)求b,c的值; (2)求直线BD的函数解析式; (3)点在抛物线的对称轴上且在轴下方,点在射线上.当与相似时,请直接写出所有满足条件的点的坐标. 2.二次函数线段最大值三角形相似存在性问题(初三) 如图,抛物线与轴交于两点,且,与轴交于点,连接,抛物线对称轴为直线为第一象限内抛物线上一动点,过点作于点,与交于点,设点的横坐标为. (1)求抛物线的表达式; (2)当线段DF的长度最大时，求D点的坐标; (3)抛物线上是否存在点,使得以点为顶点的三角形与相似?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 3.二次函数铅垂定理面积最大值三角形形似存在性(初三) 如图,已知抛物线经过两点是抛物线与轴的交点. (1)求抛物线的解析式; (2)点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动,设的面积为,求关于的函数表达式(指出自变量的取值范围)和的最大值; (3)点在抛物线上运动,点在轴上运动,是否存在点、点使得,且与相似,如果存在,请求出点和点的坐标. 4.二次函数三角形面积定值三角形相似存在性问题(初三) 如图,抛物线与轴交于点和点,与轴交于点,顶点为,连接与抛物线的对称轴l交于点. (1)求抛物线的表达式; (2)点是第一象限内抛物线上的动点,连接,当时,求点的坐标; (3)点是对称轴1右侧抛物线上的动点,在射线上是否存在点,使得以点为顶点的三角形与相似?若存在,求点的坐标;若不存在,请说明理由. 5.二次函数平行四边形存在性三角形相似存在性问题(初三) 如图,二次函数的图象与轴交于点,与轴交于点,抛物线的顶点为,其对称轴与线段交于点,垂直于轴的动直线1分别交抛物线和线段于点和点,动直线1在抛物线的对称轴的右侧(不含对称轴)沿轴正方向移动到点. (1)求出二次函数和所在直线的表达式; (2)在动直线1移动的过程中,试求使四边形DEFP为平行四边形的点的坐标; (3)连接,在动直线1移动的过程中,抛物线上是否存在点,使得以点为顶点的三角形与相似?如果存在,求出点的坐标;如果不存在,请说明理由. 6.二次函数三角形相似存在性问题(初三) 已知抛物线与轴分别交于两点,与轴交于点. (1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标; (2)点是线段上一个动点. ①如图1,设,当为何值时,? ②如图2,以为顶点的三角形是否与相似?若相似，求出点的坐标；若不相似，请说明理由. 7.二次函数三角形相似存在性问题(初三) 如图1,直线与抛物线交于两点,与轴于点,其中点的坐标为. (1)求的值; (2)将点绕点逆时针旋转得到点. ①试说明点D在抛物线上; ②如图2,将直线向下平移,交抛物线于两点(点在点的左侧),点在线段上.若(点分别与点对应),求点的坐标. 8.二次函数三角形存在性问题面积倍分动点问题(初三) 如图,已知抛物线过点和点.过点作直线轴,交轴于点. (1)求抛物线的解析式; (2)在抛物线上取一点,过点作直线的垂线,垂足为.连接,使得以为顶点的三角形与相似,求出对应点的坐标; (3)抛物线上是否存在点,使得?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由. 答案 1.【解】(1), 点,点, 抛物线解析式为: ; (2)如图1,过点作于, , 点横坐标为, 点坐标为, 设直线的函数解析式为:, 把点 代入得:,解得:, 直线的函数解析式为; (3)点,点,点,,对称轴为直线直线BD:与轴交于点点, , 如图1,过点作于, , ,设对称轴与轴的交点为,即点 ,现在分两种情况讨论: 第一种情况:若,如图3: ,(1)当, 点; (2)当,点; 第二种情况:若，如图3: , (3).当点; (4).当点;综上所述:满足条件的点的坐标为或或或. 2.【解】(1).设,则,则点的坐标分别为,则,解得:,故点的坐标分别为,,则抛物线的表达式为:,解得:,故抛物线的表达式为:; (2).对于,令,则,故点,由点的坐标得, 直线的表达式为:,设点的横坐标为,则点,则点,则,,故DF有最大值,DF最大时,点; (3)存在,理由如下:点,则, 以点为顶点的三角形与相似,则或,即或,即或, 解得:或-2(舍去)或或(舍去),经检验或是方程的解,且符合题意,故或. 3.【解】(1)将代入,得:,解得:, 抛物线的解析式为. (2)过点作轴,交于点,如图1所示. 当时,点的坐标为,6).设直线的解析式为, 将代入,得:, 解得:直线的解析式为. 点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动,点的坐标为,则点的坐标为, , , 当时,面积取最大值,最大值为. 点在平面直角坐标系第一象限内的抛