湖南省长沙市弘益高级中学2023-2024学年高二上学期入学考试数学试题

长沙市弘益高级中学高二第一学期入学考试数学试卷 时量：120分钟 满分150分 一、单选题（本大题共8个小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 从，，，，中任取个不同数，则取出的两个数之和是的倍数的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 设：或；：或，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 6. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 7. 直线，若，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 或1 8. 已知函数是上的奇函数，且当时，，函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共4个小题，共20分．每小题有多项符合题目要求，全部选对得5分，未选全得2分，选错得0分） 9. 关于直线，则下列结论正确的是（ ） A. 倾斜角为 B. 斜率为 C. 在y轴上截距为 D. 在x轴上的截距为 10. 已知复数，则下列说法正确的是（ ） A. 的共轭复数是 B. 的虚部是 C. D. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 抽样调查具有花费少、效率高的特点 B. 数据2，3，9，5，3，9的中位数为7，众数为3和9 C. 极差和标准差都能描述一组数据的离散程度 D. 数据的方差为，则数据的方差为 12. 如图，长方体中，是侧面的中心，是底面的中心，点在线段上运动．以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则（ ） A. 是平面的一个法向量 B. 直线∥平面 C. 异面直线与垂直 D. 存在点，使得直线与平面所成的角为 三、填空题（本大题共4个小题，共20分．） 13. 同时投掷枚质地均匀的骰子，所得点数相同的概率是 ___________ 14. 已知，则的值为________． 15. 已知点和点到直线的距离相等，则___________. 16. 已知函数，若存在3个零点，则实数的取值范围为______． 四、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 已知三个顶点是，求： （1）边所在直线的一般方程； （2）边的垂直平分线所在直线的方程． 18. 平面给定三个向量，， （1）若，求的值； （2）若向量与向量共线，求实数k的值. 19. 中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且. （1）求； （2）若，的面积为，求的周长. 20. 某校高三年级甲班50名学生在一次期中考试中，数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为，，，，，，.其中，且.（说明：数学成绩满分为150分） （1）根据甲班数学成绩的频率分布直方图，估计甲班数学成绩的平均分； （2）求数学成绩的第80百分位数. 21. 如图，在四棱锥中，平面分别为的中点． （1）证明：平面； （2）若，求点到平面的距离． 22. 如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，平面平面，，，， （1）证明：； （2）求与平面所成的角的正弦值． 长沙市弘益高级中学高二第一学期入学考试数学试卷 时量：120分钟 满分150分 一、单选题（本大题共8个小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、多选题（本大题共4个小题，共20分．每小题有多项符合题目要求，全部选对得5分，未选全得2分，选错得0分） 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】AD 【11题答案】 【答案】AC 【12题答案】 【答案】ABD 三、填空题（本大题共4个小题，共20分．） 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】3或 【16题答案】 【答案】 四、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1） （2）6 【20题答案】 【答案】（1）117.8分 （2）132.5 【21题答案】 【答案】（1）