广东省惠州市惠台学校2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题

惠台学校2023-2024学年度第一学期九年级数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在平面直角坐标系内，把点P（﹣2，4）沿x轴方向向右平移一个单位，则得到的对应点P′的坐标是（ ） A. （﹣1，4） B. （﹣2，5） C. （﹣3，4） D. （﹣2，3） 2. 下列不等式中不一定成立的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 若分式中的a、b的值同时扩大到原来的3倍，则分式的值（　　） A. 不变 B. 是原来的3倍 C. 是原来的6倍 D. 是原来的9倍 4. 已知一次函数 ，那么下列结论正确的是（ ） A. y 的值随 x 的值增大而增大 B. 图象经过第一、二、三象限 C. 图象必经过点 D. 当 时，y<0 5. 小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝20cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（　　） A. 20cm B. 30cm C. 40cm D. 20cm 6. 为计算某样本数据的方差，列出如下算式，据此判断下列说法错误的是（ ） A. 样本容量是4 B. 样本的平均数是4 C. 样本的众数是3 D. 样本的中位数是3 7. 若能用完全平方公式因式分解，则的值为（ ） A. ±6 B. ±12 C. -13或11 D. 13或-11 8. 关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a满足（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．当直线与有交点时，的取值范围是（ ） A B. C. D. 10. 如图，在中，是中点，作，垂足在线段上连接，则下列结论中一定成立的是（ ） ①；②；③；④． A. ①②③ B. ①③ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：=______． 12. 如图，已知一次函数y=kx+3和y=-x+b的图象交于点P(2，4)，则关于x的一元一次不等式kx+3>-x+b的解集是_______. 13. 如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的面积是__________． 14. 若关于的方程无解，则__________． 15. 如图，在矩形中，E，F分别是边，上的动点，P是线段的中点，，，G，H为垂足，连接．若，，，则的最小值是 __． 三、解答题（本大题共3小题，第16题共10分，第17、18题各7分，共24分） 16 （1）解方程：． （2）计算． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，已知中，， （1）用直尺和圆规在边上找一点，便得点到点、点的距离相等．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若，求证：． 四、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 某超市计划购进甲、乙两种商品进行销售．经了解，甲种商品的进价比乙种商品的进价高50%，超市用1500元购进甲种商品比用2000元购进乙种商品的重量少50千克，已知超市对甲，乙两种商品的售价分别为45元/千克和30元/千克． （1）求甲、乙两种商品的进价分别是多少？ （2）若超市购进这两种商品共450千克，其中甲种商品的重量不高于乙种商品重量的2倍，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 20 如图，直线y＝﹣2x+7与x轴、y轴分别相交于直C、B．与直线y＝x相交于点A． （1）求A点坐标； （2）如果在y轴上存在一点P，使OAP是以OA为底边的等腰三角形，求P点坐标； （3）在直线y＝﹣2x+7上是否存在点Q，使OAQ的面积等于6？若存在，请求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由． 21. 我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫做非凡三角形．例如：某三角形三边长分别是和3，因为，所以这个三角形是非凡三角形． （1）若是非凡三角形，且，则________． （2）如图，在平行四边形中，于点，且是非凡三角形，求的值． 五、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22. （1）【方法回顾】连接三角形任意两边中点的线段叫三角形的中位线，探索三角形中位线的性质，方法如下： ①如图1，D、E分别是AB、AC中点，延长DE到F，使EF=DE，连接CF； ②证明△ADE≌△CFE，再证四边形DBCF是平行四边形，从而得到线段DE与BC的位置关系和数量关系分别为_______、________； （2）【初步运用】如图2，正方形ABCD中，E为边AD中点，G、F分别在边AB、CD上，且AG＝2，DF＝3