1.6平面直角坐标系中的距离公式 课件-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

1.6 平面直角坐标系中的距离公式 掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式和两平行直线间的距离公式的推导过程，并能应用这三个公式解决相关问题，达到逻辑推理和数学运算核心素养学业质量水平一的层次。 环节一 两点间的距离 思考1：数轴上如何表示两点间的距离公式? 1、两点间的距离公式 思考2：已知平面上两点P1（x1,y1)， P2（x2,y2),如何求P1,P2的距离 P1P2 ？ 1、两点间的距离公式 Q M1 N1 x P1 P2 O y M2 N2 在直角△P1QP2中， 两点间距离公式：一般地，若两点A,B的坐标分别为(x1，y1)， (x2，y2)，则A,B两点间的距离公式为 1、两点间的距离公式 |AB|= 思考3：若点A（x，y），它到原点的距离怎么算？ |AB|= 例 1 求下列两点间的距离： (1)A(-1,0)，B(2，-3) (2)A(4，3)，B(7，-1) 例 2 已知的三个顶点是A（-1，0），B（1，0），C（），试判断的形状. x y O A(-1,0) B(1,0) · · · 若点A（－3，4）与坐标轴上的点P的距离等于5，则点P的坐标可以为 . 解析：①若点P在x轴上，设点P的坐标为（x，0），由点P与点A之间的距离等于5，得＝5，解得x＝0或x＝－6，所以点P的坐标为（0，0）或（－6，0）. ②若点P在y轴上，设点P的坐标为（0，y），由点P与点A之间的距离等于5，得＝5，解得y＝0或y＝8，所以点P的坐标为（0，0）或（0，8）.故所求的点P有3个，坐标分别为（0，0），（－6，0），（0，8）. 例 3 环节二 点到直线的距离 思考1：如何表示点到直线的距离公式? 2、点到直线的距离公式 x y O 思路1： 直线 的方程 直线 的斜率 直线 的方程 直线 的方程 交点 点 之间的距离 （ 到 的距离） 点 的坐标 直线 的斜率 点 的坐标 点 的坐标 两点间距离公式 直线 l 的斜率是 直线ＰＱ的方程是 与 联立，解得 2、点到直线的距离公式 思路2：三角形的面积公式 一般地，对于直线 · PQ是RtΔPMN斜边上的高,由三角形面积可知 2、点到直线的距离公式 思路3：向量 设是直线上任意一点，我们可以把线段的长理解成向量在直线的法向量方向上的投影向量的长度. 所以 ＝＝. 因为点在直线上， 所以， 我们就得到了点到直线的距离公式 .   点到直线的距离公式：如何表示点到直线的距离公式? 2、点到直线的距离公式 x y O 点P（）到直线l：Ax+By+C=0 例 1 求点P(1,2)到下列直线的距离： (1)l1：y＝x－3； (2)l2：y＝－1； (3)y轴． (2) 3 (3) 1 例 2 求经过点A(1,2)且到原点的距离等于1的直线方程． 未讨论斜率是否存在 [正解]　①当直线过点A(1,2)且垂直于x轴时，直线方程为x＝1，原点(0,0)到直线的距离等于1，所以满足题意． 例 2 求经过点A(1,2)且到原点的距离等于1的直线方程． [自主解答]设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝0， 则由点到直线的距离公式知d＝＝＝. 所以｜m－3｜＝6，即m－3＝±6，得m＝9或m＝－3， 故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0. 垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P（－1，0）的距离是的直线l的方程是 　3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0　 3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0 例 3 已知两点A（3，2）和B（－1，4）到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为 　或. 解析：由题意知直线mx＋y＋3＝0与AB平行或过AB的中点，则有－m＝或m×＋＋3＝0，∴m＝或m＝－6. 或－6 例 4 环节三 平行线间的距离 思考1：直角坐标系中两条平行直线的距离如何求呢？ 3、两平行线间的距离公式 一般地，已知两条平行直线 设 是直线 上任意一点， 则 于是点 到直线 的距离 注意：两条直线的未知量的系数相同才能使用上式． 即 就是直线 和 的距离． 例 1 求下列两条平行直线的距离： (1) 3x-2y-1=0,3x-2y+6=0 (2) x+2y=0,2x+4y-7=0 解析:(1) 求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到直线l的距离为2的直线的方程. 解析：方法一　设所求直线的方程为5x－12y＋m＝0， ∵两直线的距离为2，∴＝2，∴m＝32或m＝－20. 故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0. 例2 例 3 两平行直线分别过A（1,0）与B（0,5）