1.1.6平面直角坐标系中的距离公式课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

北师大版（2019）选择性必修第一册 1.1.6平面直角坐标系中的距离公式 学习目标 Learning Objectives 探索新知 Explore new knowledge 题型突破 Breakthrough in question types 当堂检测 Classroom test 学习目录 Parent Conference Directory 壹 叁 贰 肆 学习目标 PART 01 学习目标 01 掌握平面上两点间的距离公式 01 掌握点到直线的距离公式 02 会求两条平行线之间的距离 03 会运用坐标法证明简单的平面几何问题 04 探索新知 PART 02 探索新知 02 复习回顾 在初中，我们已经学过数轴上两点间的距离公式，如下图，如何表示两点间的距离公式呢？ 思考：如果把上述问题拓展到平面直角坐标系内，又如何来求两点间的距离呢？ 如右图所示 两点间的距离公式 知识点1 两点间的距离 探索新知 02 思考交流 如果与轴或者轴平行，此时两点间的距离是什么？刚才得到的公式还适用么？ 与轴平行 与轴平行 满足 知识点1 两点间的距离 探索新知 02 思考交流 对于两点之间的距离公式，我们还有别的理解方式么？请大家结合前面学过的平面向量内容，谈谈自己的看法. 知识点1 两点间的距离 那么两点间的距离， 可以理解成向量的长度,即 即 而 则 方法1：向量法 从平面向量的知识来看，对于坐标平面内的两点 探索新知 02 思考交流 对于两点之间的距离公式，我们还有别的理解方式么？请大家结合前面学过的平面向量内容，谈谈自己的看法. 知识点1 两点间的距离 可以理解为向量在轴上的投影数量的绝对值 则，. 可以理解为向量分在轴上的投影数量的绝对值 设向量和分别是与轴和轴正方向相同的单位向量 方法2：投影法 再由勾股定理可得： 探索新知 02 知识剖析 (1)两点间的距离公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可以写成 . (2)两点间的距离公式有三种特殊形式：①当直线平行于轴时，； ②当直线平行于轴时，； ③原点与任意一点间的距离. (3)平面内两点间的距离公式是建立在数轴上两点间的距离公式的基础上的，是将既不平行也不垂直于坐标轴的线段进行分解，得到垂直于坐标轴的线段，利用勾股定理推出来的.这一过程体现了“化斜为直”“化一般为特殊”的数学思想. 知识点1 两点间的距离 探索新知 02 例21 已知是直线上的两点，若，求||. 点在直线上，点满足直线方程，可以用表示，可以用表示，再代入距离公式即可. 解：因为在直线上， 所以. 由已知， 得. 根据两点间得距离公式， 得 若 是直线: 上两点， . . . 探索新知 02 例22 如图所示，已知△的三个顶点分别为. （1）试判断的形状； （2）设点为的中点，求边上中线的长. 已知三点，三角形就是确定的，其各边长及各边的中线长都可求. 解：(1)根据两点间的距离公式，得 ， ， ， 因为，即， 所以是直角三角形. 探索新知 02 例22 如图所示，已知△的三个顶点分别为. （1）试判断的形状； （2）设点为的中点，求边上中线的长. 已知三点，三角形就是确定的，其各边长及各边的中线长都可求. (2)因为 的中点 横坐标， 纵坐标. 边上中线的长 探索新知 02 思考交流 知识点2 点到直线的距离公式 思考：如何用已经学过的知识求出？ 探究：在平面直角坐标系中，有一点，直线其中不全为0)， 如何求出点到直线的距离呢？ 点到直线的距离，就是点到直线的垂线段的长（如图所示），其中是垂足. 探索新知 02 思考交流 知识点2 点到直线的距离公式 思路一：直接法 直线的方程 直线的斜率 直线的方程 直线的方程 点到直线的距离（两点之间的距离） 点的坐标 直线的斜率 点的坐标 点的坐标 思路简单运算繁琐 探索新知 02 思考交流 知识点2 点到直线的距离公式 思路一：直接法 直线的方程 直线的斜率 直线的方程 直线的方程 点到直线的距离（两点之间的距离） 点的坐标 直线的斜率 点的坐标 点的坐标 探索新知 02 思考交流 知识点2 点到直线的距离公式 思路二：面积法 x y O 等面积法求出 求出 求出 利用勾股定理求出 S R 求出点的坐标 求出点的坐标 N 探索新知 02 思考交流 知识点2 点到直线的距离公式 探究 我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具.能否用向量方法求点到直线的距离？ 如图所示，设是直线上任意一点，我们可以把线段的长理解成向量在直线的法向量方向上的投影向量的长度. 因为点在直线上，所以， 将②代入①，我们就得到了点到直线的距离公式   探索新知 02 总结归纳 知识点2 点到直线的距离公式 点到直线的距离公式 平面直角坐标系中的任意一点到直线的距离   (1)点到直线的距离公式的特点：①分母是直线方程一般式中x，y的系数平方和的算术平方根，即；②分子是直线方程一般式中等号左边代入点的坐标后的绝对值，即. (2)特别地，当点在直线上时，点到该直线的距离为0；当点为原点时， (3)点到直线的距离公式对于直线方程当或时的情况仍然适用. (4)在应用点到直线的距离公式时，若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求解. 探索新知 02 总结归纳 知识点2 点到直线的距离公式 （1）点 到 <m></m> 轴的距离 <m></m> ； （2）点到 <m></m> 轴的距离 <m></m> ； （3）点 <m>到直线 <m></m> 的距离 <m></m> ； （4）点到直线 <m></m> 的距离 <m></m> . 平面上一点到几种特殊直线的距离 探索新知 02 例23 求点到下列直线的距离： (1)；(2)；(3) 解：(1)根据点到直线的距离公式，得 即点到直线的距离为 (2)直线方程可化为一般式 根据点到直线的距离公式，得 即点到直线的距离为 探索新知 02 例23 求点到下列直线的距离： (1)；(2)；(3) 解：(3)直线方程可化为，这条直线垂直于x轴，所以 即点到直线的距离为 探索新知 02 思考交流 知识点3 两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长. 两平行直线间的距离 探究：已知两条平行直线，（其中不全为0，且），那么如何求它们之间的距离呢？ 求两条平行直线间的距离可转化为点到直线的距离 探索新知 02 思考交流 知识点3 两条平行直线间的距离 两平行直线间的距离 探究：已知两条平行直线，（其中不全为0，且），那么如何求它们之间的距离呢？ 在直线l1上任取一点P(x1,y1),则有Ax1+By1+C1=0， 此时，两条平行直线l1，l2之间的距离也就是点P(x1,y1)到直线l2的距离. 根据点到直线的距离公式，得： 探索新知 02 总结归纳 两条平行直线间的距离公式 两条平行直线和(其中，不全为0，且)间的距离 (1)在应用两条平行直线间的距离公式时，要注意：①把直线方程化为一般式；②两个直线方程中x，y的系数必须分别相等. (2)如果两条平行直线的方程用斜截式表示为，，那么两条平行直线间的距离 知识点3 两条平行直线间的距离 探索新知 02 例24 求下列各组平行直线间的距离： (1)，； (2)，； (3)，； 解：(1)根据两条平行直线间的距离公式，得 即与间的距离为 探索新知 02 例24 求下列各组平行直线间的距离： (1)，； (2)，； (3)，； 解：(2)将所给直线方程化为一般式，得，. 根据两条平行直线间的距离公式，得 即与间的距离为 探索新知 02 例24 求下列各组平行直线间的距离： (1)，； (2)，； (3)，； 解：(3)将直线的方程化简，得， 根据两条平行直线间的距离公式，得 即与间的距离为 探索新知 02 拓展 1.坐标法的定义： 根据图形的特点建立适当的平面直角坐标系，设出已知点的坐标，求出未知点的坐标，利用坐标把几何问题转化为代数问题，从而利用代数知识使问题得以解决. 这种解决问题的方法叫作坐标法，也称解析法. 知识点3 两条平行直线间的距离 2.用坐标法解决问题的一般步骤： (1)建立适当的平面直角坐标系； (2)设出已知点的坐标，求出未知点的坐标； (3)利用已学的坐标公式列出方程(组)，通过计算得出代数结论； (4)反演回去，得到几何问题的结论. 探索新知 02 总结 知识点3 两条平行直线间的距离 一、两点间的距离公式 平面直角坐标系中，两点之间的距离： 二、点到直线的距离公式 平面直角坐标系中，点P到直线l:Ax+By+C=0（其中A,B不全为0）的距离： 三、两平行线间的距离公式 两平行直线l1:Ax+By+C1=0，l2:Ax+By+C2=0（其中A,B不全为0，且C1≠C2），之间的距离： 题型突破 PART 03 题型突破 03 题型1 三角形形状的判断 例1. 如图,已知△ABC的三顶点A(－3,1),B(3,－3),C(1,7). (1)判断△ABC的形状; (2)求△ABC的面积. 题型突破 03 题型1 三角形形状的判断 例1. 如图,已知△ABC的三顶点A(－3,1),B(3,－3),C(1,7). (1)判断△ABC的形状; (2)求△ABC的面积. 题型突破 03 解题通法 判断三角形的形状常用两种方法： 一是利用边长关系（包括边相等、勾股定理等）.已知三角形的顶点坐标，可利用两点间的距离公式计算出各边的长.若长相等，可判定是等腰或等边三角形；若满足勾股定理，可判定是直角三角形； 二是利用角的关系. 题型1 三角形形状的判断 题型突破 03 题型2 由两点间的距离求直线方程 例2. 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l：y＝kx＋1上的两点，若|x2－x1|＝3，且|AB|＝6，求直线l的方程. 解　由题意可知y1＝kx1＋1，y2＝kx2＋1， ∴y1－y2＝k(x1－x2)， ∵|x2－x1|＝3，∴(x2－x1)2＝9， ∴(y2－y1)2＝k2(x1－x2)2＝9k2， ∴k2＝3， 题型突破 03 解题通法 从交点坐标入手，采用“设而不求”“整体代入”或“整体消元”的思想方法可以优化解题过程.这些解题思想方法在解析几何中经常用到，是需要掌握的技能.另外，灵活运用图形的几何性质，如对称、线段垂直平分线的性质等，同样是很重要的. 题型2 由两点间的距离求直线方程 题型突破 03 题型3 平行直线间的距离的最值问题 例3. 两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求： (1)d的变化范围； 解　如图，显然有0<d≤|AB|. 题型突破 03 题型3 平行直线间的距离的最值问题 例3. 两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求： (2)当d取最大值时，两条直线的方程. 解　由图可知，当d取最大值时，两直线与AB垂直. 所以所求直线的斜率为－3. 故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)， 即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0. 题型突破 03 解题通法 应用数形结合思想求最值 (1)解决此类题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决. (2)数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到.当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围. 题型3 平行直线间的距离的最值问题 题型突破 03 距离的最值问题的三种处理方法 ①利用对称转化为两点之间的距离问题． ②利用所求式子的几何意义转化为两点距离． ③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题. 题型3 平行直线间的距离的最值问题 题型突破 03 题型4 直线关于点对称的问题 线关于点的对称： 斜率相等，求对称点 拓展点 直线关于点的对称 解题要点： 法一： l 2上的任意一点的对称点在l 1上； 法二： l 1 ∥ l 2点斜式或对称两点式 法三： l 1 ∥ l 2且P到两直线等距. 法四：过P作 l 1 的平行线l，到l 1, l 2 的距离相等 题型突破 03 题型4 直线关于点对称的问题 A l2 l1 y x O P A′ · · · 当堂检测 PART 04 当堂检测 04 BCD 当堂检测 04 B 当堂检测 04 B 当堂检测 04 当堂检测 04 当堂检测 04 当堂检测 04 当堂检测 04 当堂检测 04 当堂检测 04 当堂检测 04 谢谢观看 Learn to report 解 (1)(方法一)∵|AB|=2, |AC|2, 又|BC|=2, ∴|AB|2+|AC||BC|2,且|AB||AC|, ∴△ABC是等腰直角三角形. (方法二)∵kAC =,kAB == －, ∴kAC·kAB=－1,∴AC⊥AB. 又|AC|==2, |AB|==2, ∴|AC|=|AB|,∴△ABC是等腰直角三角形. (2)S△ABC=|AC|·|AB|=()2=26, ∴△ABC的面积为26. 解得k＝±， 故直线l的方程为y＝x＋1或y＝－x＋1. ∵|AB|＝＝＝6， 又|AB|＝＝3. 故所求的d的变化范围为(0,3]. 又kAB＝＝， 1.（多选）若两平行线分别经过点，，则它们之间的距离d可能等于( ) A.14 B.5 C.12 D.13 解析：因为两平行线分别经过点，， 易知当两平行线与A，B两点所在直线垂直时，两平行线间的距离d最大， 即，所以， 故距离d可能等于5，12，13. 故选：BCD. 2.直线关于点对称的直线的方程为( ) A. B. C. D. 解析：方法一：设直线关于点对称的直线上任意一点，则关于对称的点为， 又因为在直线上，所以，即.故选B. 2.直线关于点对称的直线的方程为( ) A. B. C. D. 解析：方法二：设直线关于点对称的直线的方程为，所以，所以，所以或（舍），即直线关于点对称的直线的方程为.故选B. 3.已知点，，点在线段AB（含端点）上移动，则的最小值为__________. 解析：的几何意义为点P与点的距离，由图形可得B，C两点的距离最短，则所求最小值为. 4.已知直线与x轴的交点为F，A，B是直线l上的两个动点，点P是线段AB上的任意一点，点P到直线的距离为d.若恒成立，则线段AB的最大长度为___________. 解析：设，则， 对于，由，得，所以， 所以， 因为，所以， 所以，得， 解得， 4.已知直线与x轴的交点为F，A，B是直线l上的两个动点，点P是线段AB上的任意一点，点P到直线的距离为d.若恒成立，则线段AB的最大长度为___________. 解析：将代入，得， 将代入，得， 所以， 所以线段AB的最大长度为8， 故答案为：8. 5.一直线过点，且点到该直线的距离等于4，则该直线的倾斜角为__________. 解析：当过点P的直线垂直于x轴时，点Q到直线的距离等于4，此时直线的倾斜角为.当过点P的直线不垂直于x轴时，可设直线的斜率为k，则过点P的直线方程为，即.由点Q到该直线的距离，解得，此时直线的倾斜角为. 综上，该直线的倾斜角为或. 6.直线，，若，则a的值为______；此时与的距离是______. 解析：由，则，即，可得或， 当时，，，符合题设； 当时，，为同一条直线，不合题设； 综上，，此时，， 所以与的距离. 7.已知三条直线，直线:和直线，且和间的距离是. （1）求a的值. 解析：（1）的方程可化为， 所以和间的距离，所以，因为，所以. （2）能否找到一点P，使得点P同时满足下列三个条件：①点P是第一象限内的点；②点P到的距离是点P到的距离的一半；③点P到的距离与点P到的距离之比是？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由. 解析：（2）设点. 若点P满足条件②，则点P在与和平行的直线上，且，得或.所以或. 若点P满足条件③，则，所以或. （2）能否找到一点P，使得点P同时满足下列三个条件：①点P是第一象限内的点；②点P到的距离是点P到的距离的一半；③点P到的距离与点P到的距离之比是？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由. 解析：若点P也满足条件①，则不合题意. 由解得，此时点P不满足条件①，应舍去. 由解得，此时点P也满足条件①. 所以为同时满足三个条件的点. $$