第8期 23.2.2关于原点对称的中点的坐标；23.3课题学习；第二十三章整章复习(答案见下期)-【数理报】2023-2024学年九年级(中考)数学学案（人教版）

书 考点一：旋转的性质 旋转的一个重要性质就是旋转前后的两个图形全 等．解答与旋转有关的问题时，要特别注意旋转后得到 的一些特殊三角形，如等腰三角形、等边三角形、直角三 角形等性质的应用． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　例１ （２０２２六盘水）如图 １，将 △ＡＢＣ绕点 Ａ旋转得到 △ＡＤＥ，若 ∠Ｂ＝９０°，∠Ｃ＝ ３０°，ＡＢ ＝ １， 则 ＡＥ ＝ ． 解析：因为∠Ｂ＝９０°，∠Ｃ ＝３０°，所以ＡＣ＝２ＡＢ＝２，由旋转的性质，得ＡＥ＝ＡＣ ＝２．故填２． 考点二：中心对称图形 中心对称图形上的每一对对称点都和对称中心在 同一条直线上，且对称点的连线被对称中心平分． 例２　（２０２２济南）下列绿色能源图标中既是轴对 称图形又是中心对称图形的是 （　　） 解析：Ａ．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故 Ａ选项不合题意；Ｂ．既是轴对称图形又是中心对称图 形，故Ｂ选项符合题意；Ｃ．不是轴对称图形，是中心对称 图形，故Ｃ选项不合题意；Ｄ．是轴对称图形，不是中心对 称图形，故Ｄ选项不合题意．故选Ｂ． 考点三：关于原点对称的点的坐标 关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数． 例３　（２０２２银川金凤区二模）在平面直角坐标系 中，将点Ａ（－３，２）向右平移ａ个单位长度，再向下平移 ｂ个单位长度，平移后对应的点为Ａ′，且点Ａ和Ａ′关于原 点对称，则ａ－ｂ＝ ． 解析：根据平移后点的坐标特征可得点 Ａ′的坐标 为：（－３＋ａ，２－ｂ），因为点Ａ和Ａ′关于原点对称，所以 －３＋ａ－３＝０，２－ｂ＋２＝０，解得ａ＝６，ｂ＝４，所以 ａ－ｂ＝２．故填２． 考点四：旋转作图 先确定旋转的角度和方向，然后找出与旋转中心距 离相等的对应点． 例４　如图２，在每个小正方形的边长为１个单位的 网格中，△ＡＢＣ的顶点均在格点（网格线的交点）上． （１）将△ＡＢＣ向右平移５个单位得到△Ａ１Ｂ１Ｃ１，画 出△Ａ１Ｂ１Ｃ１； （２）将（１）中的△Ａ１Ｂ１Ｃ１绕点Ｃ１逆时针旋转９０°得 到△Ａ２Ｂ２Ｃ１，画出△Ａ２Ｂ２Ｃ１． 解析：（１）如图３，△Ａ１Ｂ１Ｃ１即为所求． （２）如图３，△Ａ２Ｂ２Ｃ１即为所求． ! ! ! ! " ! # " ! " " " # " ! # " ! ! # 书 利用平移、轴对称及旋转可以设计出许多丰富多彩 的图案，请看下面的例题． 例１　用四块如图１－①所示的正方形瓷砖拼成一 个新的正方形，使拼成的图案是一个轴对称图形．请你 在图１－②，图１－③，图１－④中各画一种拼法（要求三 种拼法各不相同，且其中至少有一个既是轴对称图形， 又是中心对称图形）． 解析：拼图时，一要动手操作，仔细观察；二要善于想 象．最后不要忘记应用轴对称图形或中心对称图形的定 义判断所拼图形是否符合题目要求．拼图如图２所示． 例２　用四块如图３所示的正方形瓷砖拼成一个大 正方形，形成轴对称图形． （１）与你的同伴比比，看谁的拼法 多； （２）如果你家新房装修，请你选择四 个拼成的大正方形拼成中心对称图形，扩大规模，以观 其效． 解析：（１）以正方形的对称轴作为分类准则，可以设 计许多不同的轴对称图形，如图４． （２）拼图：①“同花顺”拼法（利用图形的平移变换， 如图５）． ②“同花转”拼法（利用图形的旋转变换或轴对称 变换，如图６）． ! $ ! % ! & ! ! ! # 书 一、三角形与坐标 例１　（２０２２襄阳襄城区模 拟）等边△ＡＢＣ放置在如图１所 示的平面直角坐标系中，将 △ＡＢＣ绕着点Ａ逆时针旋转６０° 到 △ＡＣＤ处，若点 Ｂ的坐标为 （－１，０），则点 Ｄ的 坐 标 为 ． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　解析：因为△ＡＢＣ是等边三角形，所以ＡＢ＝ＡＣ＝ ＢＣ，∠ＢＡＣ＝６０°，因为点Ｂ的坐标为（－１，０），所以ＯＢ ＝１，因为 ＡＢ＝ＡＣ，ＡＯ⊥ ＢＣ，所以 ＢＣ＝２ＯＢ＝２， ∠ＢＡＯ＝∠ＣＡＯ＝ １２∠ＢＡＣ＝３０°，所以ＡＢ＝ＡＣ＝ ＢＣ＝２，由勾股定理，得ＡＯ＝槡３，由旋转，得ＡＤ＝ＡＣ ＝２，∠ＤＡＣ＝６０°，所以∠ＤＡＯ＝∠ＤＡＣ＋∠ＣＡＯ＝ ９０°，所以点Ｄ的坐标为（２，槡３）．故填（２，槡３）． 二、四边形与坐标 例２　 如图２，在直角坐标 系中，已知菱形 ＯＡＢＣ的顶点 Ａ（１，２），Ｂ（３，３）．作菱形 ＯＡＢＣ 关于ｙ轴对称的图形ＯＡ′Ｂ′Ｃ′，再 作图形ＯＡ′Ｂ′Ｃ′关于点Ｏ成中心 对称的图形 ＯＡ″Ｂ″Ｃ″，则点 Ｃ的 对应点Ｃ″的坐标是 （　　） Ａ．（２，－１）　　　Ｂ．（１，－２） Ｃ．（－２，１） Ｄ．（－２，－１） 解析：由图２可知点Ｃ的坐标为（２，１），根据关于ｙ 轴对称的点的坐标特征，得点Ｃ′的坐标为（－２，１）．再 根据关于原点对称的点的坐标特征，得点 Ｃ″的坐标为 （２，－１）．故选Ａ