2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨全国高中数学联合竞赛一试及加试试题（B）卷

2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛) 暨2023年全国高中数学联合竞赛 一试(B卷) 说明： 1.评阅试卷时，请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档：其他各 题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次. 2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷 时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第 10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次. 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分 1.函数y=log(x2-9x-10)的定义域为 2.若实数m满足2”=4，则m的值为」 3若双曲线C千-1a,b>0)的离心率为3，则双曲线工：茶- 的离心率为 4.设n为正整数.从l,2,,n中随机选出一个数a,若事件“2<√a≤4” 发生的概率为子则的所有可能的值为 5.平面上五点A,B,C,D,E满足AB=BC=CD,EAEB=4,EB.EC=5, EC.ED=8,则EAED的值为 6.将所有非完全平方的正奇数与所有正偶数的立方从小到大排成一列（前 若干项依次为3,5,7,8,11,13，…)，则该数列的第2023项的值为 7.设P-ABCD与Q-ABCD为两个正四棱锥，且∠PAQ=90°，点M在线 段AC上，且CM=3AM.将异面直线PM,QB所成的角记为0，则cos0的最大 可能值为 8.七张标有A,B,C,D,E,F,G的正方形卡片构成下图.现逐一取走这些卡 片，要求每次取走一张卡片时，该卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边（例如 可按D,A,B,E,C,F,G的次序取走卡片，但不可按D,B,A,E,C,F,G的次序取走 卡片)，则取走这七张卡片的不同次序的数目为 D E PG 2 二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤。 9(本题满分16分)将方程si加r+cosx= 二的所有正实数解从小到大依次 记为x,名2，x,….求x十x2十…+x0的值. 10.(本题满分20分)平面直角坐标系中，圆2与x轴、y轴均相切，与椭 圆二+片=1(a>b>0有唯一的公共点A8,9),且的圆心位于T内.试比 较2的直径与下的焦距的大小. 3 11.（本题满分20分)求出所有满足下面要求的不小于-1的实数1：对任意 a∈[-2，t],总存在b,c∈[-2，t小，使得ab+c=1. 42023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛) 暨2023年全国高中数学联合竞赛 加试(B卷) 说明： 1.评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分， 2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次. 一，（本题满分40分）如图，△ABC的外心为O,在边AB上取一点D,延 长OD至点E,使得A,O,B,E四点共圆.若OD=2,AD=3,BD=4,CD=5,证 明：△ABE与△CDE的周长相等. 0 0 D B E 二.（本题满分40分)设m,n是给定的整数，m≥n≥3.求具有下述性质 的最小正整数k:若将1,2，…，k中的每个数任意染为红色或者蓝色，则或者存 在m个红色的数x,,…,xm（允许相同)，满足x+x+…+xm-1<xm,或者存 在n个蓝色的数y,y2,…,yn（允许相同)，满足y+2+…+y1<yn 三.（本题满分50分）是否存在2023个实数a,42,,a2∈(0，]，使得 -小2台>w 2023 证明你的结论 2 四.（本题满分50分)设正整数a,b,c,d同时满足： (1)a+b+c+d=2023: (2)ab+ac+ad+bc+bd+cd是2023的倍数： (3)abc+bcd+cda+dab是2023的倍数. 证明：abcd是2023的倍数. 32023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛) 暨2023年全国高中数学联合竞赛 一试(B卷)参考答案及评分标准 说明： 1.评阅试卷时，请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档：其他各 题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次. 2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷 时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第 10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次. 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分 1.函数y=1og(x2-9x-10)的定义域为 答案：(-0o,-1)U(10,+0o). 解：由x2-9x-10=(x+1)(x-10)>0,解得x∈(-o,-1)U(10,+o) 2.若实数m满足2”=4，则m的值为」 答案：-1. 解：由于22”=4”=224”，故2"=