精品解析：天津市第一中学2023-2024学年高三上学期开学考试数学试题

2023～2024天津一中高三第一学期开学考试卷 数学 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集 = A. {1,2} B. {3,4,5} C. {1,2,6,7} D. {1,2,3,4,5} 2. 已知a是实数，则“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 要调查某地区高中学生身体素质，从高中生中抽取人进行跳远测试，根据测试成绩制作频率分布直方图如图，现从成绩在之间的学生中用分层抽样的方法抽取人，应从间抽取人数为，则（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知，且，则（ ）. A. 3 B. 6 C. 12 D. 18 5. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A，B两点．O为坐标原点，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）． A. B. 2 C. D. 3 8. 陀螺又称陀罗，是中国民间最早的娱乐健身玩具之一，在山西夏县新石器时代的遗址中就发现了石制的陀螺.如图所示的陀螺近似看作由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其中圆柱的底面半径为1，圆锥与圆柱的高均为1，若该陀螺由一个球形材料削去多余部分制成，则球形材料体积的最小值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 10. 设为虚数单位，复数__________. 11. 展开式中的常数项为__________． 12. 直线与圆交，两点，若为等边三角形，则的值为______． 13. 袋中有3个红球，m个黄球，n个绿球，现从中任取两个球，即取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则__________，__________． 14. 在梯形中，，且，，分别为线段和中点，若，，用，表示__________．若，则余弦值的最小值为__________． 15. 函数，关于x的方程有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是__________． 三、解答题：本大题共5小题，共75分． 16. 已知a，b，c分别为三内角A，B，C所对的边，且． （1）求A； （2）若，且． （i）求c的值． （ⅱ）求的值． 17. 如图，正四棱柱中，，．点，，，分别在棱，，，上，，，． （1）证明：； （2）求点到平面的距离； （3）点P在棱上，当二面角为时，求． 18. 已知椭圆的离心率为，左顶点A与上项点B的距离为． （1）求椭圆C的方程； （2）点P在椭圆C上，且P点不在x轴上，线段垂直平分线与y轴相交于点Q，若为等边三角形，求点P的坐标． 19. 设为正项数列的前项和，满足. （1）求通项公式； （2）若不等式对任意正整数都成立，求实数取值范围； （3）设（其中是自然对数的底数），求证：. 20. 设函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求的值； （2）设函数，求的单调区间； （3）求的极值点个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023～2024天津一中高三第一学期开学考试卷 数学 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集 = A. {1,2} B. {3,4,5} C. {1,2,6,7} D. {1,2,3,4,5} 【答案】A 【解析】 【详解】∵全集U={1，2，3，4，5，6，7}，P={1，2，3，4，5}，Q={3，4，5，6，7}， ∴P∩（∁UQ）={1，2，3，4，5}∩{1，2}={1，2}． 故选A 2. 已知a是实数，则“”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即得答案. 【详解】当时，， 故，即成立，则成立； 当时，，但推不出成立， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 3. 要调查某地区高中学生身体素质，从高中生中抽取人进行跳远测试，根据测试成绩制作频率分布直方图如图，现从成绩在之间的学生中用分层抽样的方法抽取人，应从间抽取人数为，则（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】先由频率之和为解得值，再分别计算各段学生人数，根据抽样比得. 【详解】由题得，所以． 在之间的学生：人， 在之间的学生：人， 在之间的