2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨全国高中数学联合竞赛一试及加试试题（A）卷

1 2023 年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨 2023 年全国高中数学联合竞赛 一试（A 卷） 说明： 1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各 题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷 时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第 9 小题 4 分为一个档次，第 10、11 小题 5 分为一个档次，不得增加其他中间档次． 一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分． 1. 设复数 9 10iz   （ i 为虚数单位），若正整数 n满足 2023nz  ，则 n的 最大值为 ． 2. 若正实数 ,a b满足 lg 2ba  ， lg lg 5a ba b  ，则 lg( ) abab 的值为 ． 3. 将一枚均匀的骰子独立投掷三次，所得的点数依次记为 , ,x y z ，则事件 “ 7 7 7C C C x y z  ”发生的概率为 ． 4. 若平面上非零向量 , ,      满足    ， 2 | |       ， 3 | |       ，则 | |  的 最小值为 ． 2 5. 方程 sin cos2x x 的最小的 20个正实数解之和为 ． 6. 设 , ,a b c为正数，a b ．若 ,a b为一元二次方程 2 0ax bx c   的两个根， 且 , ,a b c是一个三角形的三边长，则 a b c  的取值范围是 ． 7. 平面直角坐标系 xOy 中，已知圆与 x 轴、 y 轴均相切，圆心在椭圆 2 2 2 2: 1 ( 0) x y a b a b      内，且  与  有唯一的公共点 (8, 9) ．则  的焦距 为 ． 3 8. 八张标有 , , , , , , ,A B C D E F G H 的正方形卡片构成下图．现逐一取走这些 卡片，要求每次取走一张卡片时，该卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边（例 如可按 , , , , , , ,D A B E C F G H 的次序取走卡片，但不可按 , , , , , , ,D B A E C F G H 的 次序取走卡片），则取走这八张卡片的不同次序的数目为 ． A B C D E F G H 二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分．解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤． 9. （本题满分 16 分）平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 2: 4y x  ，F 为的 焦点， ,A B为上的两个不重合的动点，使得线段 AB 的一个三等分点 P 位于线 段OF 上（含端点），记Q为线段 AB 的另一个三等分点．求点Q的轨迹方程． 4 10.（本题满分 20 分）已知三棱柱 1 1 1: ABC A B C  的9条棱长均相等．记底 面 ABC 所在平面为．若的另外四个面（即面 1 1 1 1 1 1 1 1 1, , ,A B C ABB A ACC A BCC B ） 在上投影的面积从小到大重排后依次为 2 3, 3 3, 4 3, 5 3，求的体积． 11.（本题满分 20 分）求出所有满足下面要求的不小于1的实数 t ：对任意 , [ 1, ]a b t  ，总存在 , [ 1, ]c d t  ，使得 ( )( ) 1a c b d   ． 5 1 2023 年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨 2023 年全国高中数学联合竞赛 加试（A 卷） 说明： 1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分． 2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，10 分为一个档次，不得增加其他中间档次． 一．（本题满分 40 分）如图，是以 AB 为直径的固定的半圆弧，是经过 点 A及上另一个定点T 的定圆，且的圆心位于 ABT 内．设 P 是的弧TB （不含端点）上的动点， ,C D 是上的两个动点，满足：C 在线段 AP 上， ,C D 位于直线 AB 的异侧，且CD AB ．记 CDP 的外心为K ．证明： (1) 点 K 在 TDP 的外接圆上；