江苏省常州高级中学2024届高三上学期期初检测数学试卷

江苏省常州高级中学2024届高三第一学期期初检测 数学试卷 2023．09 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足（其中为虚数单位），则等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知全集，集合，或，则（ ） A. B. C. D. 3. 在空间直角坐标系中，已知异面直线，的方向向量分别为，，则，所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 4. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 6. 设，已知的展开式中只有第5项的二项式系数最大，且展开式中所有项的系数和为256，则中的系数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知在直角三角形中，，以斜边中点为圆心，为直径，在点的另一侧作半圆弧，为半圆弧上的动点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 将一个半径为的球削成一个体积最大的圆锥，则该圆锥的内切球的半径为（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9. 已知一组样本数据、、、均为正数，且，若由生成一组新的数据、、、，则这组新数据与原数据的（ ）可能相等 A. 极差 B. 平均数 C. 中位数 D. 标准差 10. 若正实数a，b满足，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，其中，则（ ） A. 不等式对恒成立 B. 若关于的方程有且只有两个实根，则的取值范围为 C. 方程共有4个实根 D. 若关于的不等式恰有1个正整数解，则的取值范围为 12. 已知函数及其导函数的定义域均为，若函数，都为偶函数，令，则下列结论正确的有（ ） A. 图象关于对称 B. 的图象关于点对称 C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知函数则函数的所有零点构成的集合为__________． 14. 某高中学校在新学期增设了“传统文化”､“数学文化”､“综合实践”､“科学技术”和“劳动技术”5门校本课程.小明和小华两位同学商量每人选报2门校本课程.若两人所选课程至多有一门相同，且小明必须选报“数学文化”课程，则两位同学不同的选课方案有__________种.（用数字作答） 15. 设随机变量，记，．在研究的最大值时，某学习小组发现并证明了如下正确结论：若为正整数，当时，，此时这两项概率均为最大值；若不为正整数，则当且仅当取的整数部分时，取最大值．某同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数．当投掷到第20次时，记录到此时点数1出现4次，若继续再进行80次投掷试验，则在这100次投掷试验中，点数1总共出现的次数为__________的概率最大． 16. 在平面直角坐标系中，若过点且同时与曲线，曲线都相切的直线有两条，则点的坐标为__________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知函数（且）． （1）若函数为奇函数，求实数的值； （2）对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 18. 已知在中，，，，． （1）求的取值范围； （2）若线段BE上一点D满足，求的最小值． 19. 四棱锥中，四边形为梯形，其中，，，平面平面． （1）证明：； （2）若，且三棱锥的体积为，点满足，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 20. 已知函数，其中． （1）讨论的单调性； （2）设，若不等式对恒成立，求的取值范围． 21. 某校为了增强学生安全意识，组织学生参加安全知识答题竞赛，每位参赛学生可答题若干次，答题赋分方法如下：第一次答题，答对得2分，答错得1分；从第二次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得1分．学生甲参加这次答题竞赛，每次答对的概率为，且每次答题结果互不影响． （1）求学生甲前三次答题得分之和为4分的概率； （2）设学生甲第次答题所得分数的数学期望为． （ⅰ）求，，； （ⅱ）直接写出与满足的等量关系式（不必证明）； （ⅲ）根据（ⅱ）的等量关系求表达式，并求满足的的最小值． 22. 已知函数，． （1）当时，求的最大值； （2）当时，试证明存在零点（记为），存在极小值点（记为），并比较与的大小关系． 江苏省常州高级中学2024届高三第一学期期初检测 数学试卷 2023．09 一、选择题