专题05 利用轴对称的特性解决最值问题之四大考点-【学霸满分】2023-2024学年八年级数学上册重难点专题提优训练（苏科版）

专题05 利用轴对称的特性解决最值问题之四大考点 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【类型一 几何图形中的最小值问题】 1 【类型二 实际问题中的最短路径问题】 11 【类型三 一次函数中线段和最小值问题】 17 【类型四 一次函数中线段差最大值问题】 29 【典型例题】 【类型一 几何图形中的最小值问题】 例题：（2023春·广东揭阳·七年级惠来县第一中学校考期末）如图，在等腰中，，，作于点D，，点E为边上的中点，点P为上一动点，则的最小值为 ．    【变式训练】 1．（2023秋·山西忻州·八年级统考期末）如图，等边中，点为的中点，分别为、上的点，，，在上有一动点，则的最小值是（   ） A．7 B．8 C．12 D．10 2．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP+BP的最小值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（2023秋·甘肃·八年级统考期末）如图，，M是边上的一个定点，且，N，P分别是边上的动点，则的最小值是 ． 4．（2023春·全国·八年级专题练习）在中，，D是边上一点，，E，F分别是边上的动点，则的最小值为 ． 5．（2023春·广西河池·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AC=BC，AB=6，△ABC的面积为12，CDAB于点D，直线EF垂直平分BC交AB于点E，交BC于点F，P是线段EF上的一个动点，则△PBD的周长的最小值是 ． 6．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）如图，已知≌，将沿所在的直线折叠至的位置，点B的对应点为，连结．      (1)直接填空：与的位置关系是__________； (2)点P、Q分别是线段、上的两个动点（不与点A、B、C重合），已知的面积为36，，求的最小值； (3)试探索：的内角满足什么条件时，是直角三角形？ 7．（2023春·全国·七年级期末）古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营A，B．他总是先去A营，再到河边饮马，之后，再巡查B营．他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢?大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图2，作B关于直线l的对称点B′，连结AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置． 证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连结AC′，BC，B′C′， ∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上， ∴CB=_________，C′B=_________， ∴AC +CB=AC+CB′=_________． 在△AC′B′， ∵AB′＜AC′+C′B′， ∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小． 本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C在AB′与l的交点上，即A，C，B′三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型． 拓展应用：如图，等腰直角△ABC中，∠ACB = 90°，BD平分∠ABC交AC于D，点P是BD上一个动点，点M是BC上一个动点，请在图5中画出PC + PM的值最小时P的位置．（可用三角尺） 【类型二 实际问题中的最短路径问题】 例题：（2023春·广东广州·八年级华南师大附中校考期中）如图，A、B两个村子在笔直河岸的同侧，A、B两村到河岸的距离分别为，，，现在要在河岸上建一水厂E向A、B两村输送自来水，要求水厂E到A、B两村的距离之和最短． (1)在图中作出水厂E的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求水厂E到A、B两村的距离之和的最小值． 【变式训练】 1．（2023春·八年级课时练习）如图，A，B两个村庄在河CD的同侧，两村庄的距离为a千米，，它们到河CD的距离分别是1千米和3千米．为了解决这两个村庄的饮水问题，乡政府决定在河CD边上修建一水厂向A，B两村输送水． (1)在图上作出向A，B两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置M．（只需作图，不需要证明） (2)经预算，修建水厂需20万元，铺设水管的所有费用平均每千米为3万元，其他费用需5万元，求完成这项工程乡政府投入的资金至少为多少万元． 2．（2023春·全国·七年级专题练习）问题情境：老师在黑板上出了这样一道题：直线同旁有两个定点A，B，在直线上是否存在点，使得的值最小？ 小明的解法如下：如图，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为． 问题提出： (1)如图，等腰的直角边长为4，E是斜边的中点，是边上的一动点