17.2 一元二次方程的解法（讲+练，七大题型）-【划重点】2023-2024学年八年级数学上册同步讲与练（沪教版）

17.2 一元二次方程的解法 学习目标：1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程； 2.运用开平方法解形如x²=p或(x+n)²=p (p≥0)的方程. 3.了解配方法的概念. 4.掌握解一元二次方程的方法解决有关问题. 5.探索解一元二次方程的方法之间的区别和联系. 重点：掌握解一元二次方程的方法解决有关问题. 难点：1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程. 2.探索解一元二次方程的方法之间的区别和联系. 知识点一 直接开平方法解一元二次方程 1.直接开平方法 利用平方根的意义直接开平方来求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法. 2. 方程x²=p的根 一般的，对于可化为x2 = p(I) 的方程， (1)当p>0 时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不相等的实数根，； (2)当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根； (3)当p<0 时，因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程(I)无实数根. 归纳：利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法 即学即练 利用直接开平方法解下列方程： 用直接开平方法解方程时，要先将方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是常数的形式. 知识点二 配方法解一元二次方程 1.配方法 把一般形式的一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个常数，进而可用直接开平方法来求解，这种通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法. 配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解。 2.可化为(x+n)²=p 的形式的一元二次方程的根 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x+n)²=p（Ⅱ）. ①当p>0时，方程（Ⅱ）有两个不等的实数根，； ②当p=0时，方程（Ⅱ）有两个相等的实数根x1=x2=－n； ③当p<0时，因为对任意实数x，都有 (x + n)²≥0，所以方程（Ⅱ）无实数根. 学生：用配方法解一元二次方程时，移项时要注意些什么？ 老师：移项时需注意改变符号. 1.用配方法解一元二次方程的一般步骤： 一移：常数项且二次项系数化为 1； 二配：成完全平方公式[配上]； 三写：成(x+n)2=p； 四直：接开平方法解方程. 即学即练1 试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－4k＋5 的值必定大于零. 即学即练2 应用配方法求最值. (1) 2x2－4x+5的最小值； (2)－3x2 + 6x -7的最大值. 【总结】ax² + bx + c (a，b，c 均为常数) 型代数式求最值或证明恒为正(负)等问题， 都要想到运用配方法，将含字母部分配成 a(x + m)² + n 的形式来解决. 即学即练3 若a，b，c为△ABC的三边长，且，试判断△ABC的形状. 类别 解题策略 1.完全平方式中的求参 如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=±4. 2.求最值或证明代数式的值恒为正(或负) 对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2＋n的形式后，(x+m)2≥0，当a＞0时，可知其最小值；当a＜0时，可知其最大值. 3.利用配方构成非负式的和的形式 对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负式的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0，则a2＋(b－2)2=0，即a=0，b=2. 知识点三 因式分解法解一元二次方程 1.因式分解法 通过因式分解把一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 2.用因式分解法解一元二次方程的理论依据 如果两个因式的积为0,那么这两个因式中至少有一个等于0,即若ab=0,则a=0或b=0. 3.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 (1)移项、合并同类项：将方程的右边化为0; (2)因式分解：将方程的左边化为两个一次式的乘积； (3)降次转化：令每个一次式分别为0,得到两个一元一次方程； (4)一一求解：分别解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解. 4.几种常见的用因式分解法求解的方程 (1)形如x²+bx=0的一元二次方程， 将左边运用提公因式法因式分解为x(x+b)=0,则x=0或 x+b=0,即=0,=-b. (2) 形如x²-a²=0的一元二次方程， 将左边用平方差公式因式分解为(x+a)(x-a)=0,则x+a=0或x-a=0,即=-a,=a. (3) 形如x²±2ax+a²=0的一元二次方程， 将左边用完全平方公式因式分解为(x