第06讲 根的判别式（讲义）-2023-2024学年上海市八年级数学第一学期同步精品讲义（沪教版）

第06讲 根的判别式 知识精讲 知识点一、求根公式 1、 公式引入 一元二次方程（），可用配方法进行求解： 得：． 对上面这个方程进行讨论：因为，所以 1 当时， 利用开平方法，得：， 即： 2 当时， 这时，在实数范围内，x取任何值都不能使方程左右两边的值相等，所以原方程没有实数根． 2、 求根公式 一元二次方程（），当时，有两个实数根： ， 这就是一元二次方程（）的求根公式． 3、 用公式法解一元二次方程一般步骤 1 把一元二次方程化成一般形式（）； 2 确定a、b、c的值； 3 求出的值（或代数式）； 4 若，则把a、b、c及的值代入求根公式，求出、；若，则方程无解． 5 小结：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c的值；③计算判别式的值；④根据判别式的符号判定方程根的情况. 小结：逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；若一元二次方程有两个实数根则判别式大于等于0. 知识点二、一元二次方程解法总结 1 开平方法：形如及的一元二次方程，移项后直接开平方法解方程． 2 因式分解法：通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题，即：若，则或． 3 配方法：通过添项或拆项，把方程左边配成完全平方式，剩余的常数项全部移到方程右边，再通过开平方法求出方程的解 即：，再用开平方法求解． 4 公式法：用求根公式解一元二次方程 一元二次方程，当时，有两个实数根： 题型归纳 题型一、根据判别式判断根的情况 1．（2023·上海嘉定·统考二模）下列关于x的方程一定有实数解的是（   ） A． B． C． (b为常数) D． (b为常数) 【答案】D 【分析】根据一元二次方程根的判别式逐项判断即可． 【详解】解：A、的判别式为：，方程没有实数解，不符合题意； B、的判别式为：，方程没有实数解，不符合题意； C、 (b为常数)的判别式为：，方程不一定有实数解，不符合题意； D、 (b为常数)的判别式为：，方程一定有实数解，符合题意； 故选D． 【点睛】此题主要考查一元二次方程实数根的情况，正确利用根的判别式进行判断是解题关键． 2．（2023春·上海静安·八年级上海市市北初级中学校考期中）下列方程中，有实数解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的被开方数非负性判断未知数的取值，即可判断方程的解． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴无实数解，故A错误； B、∵， ∴， ∴， ，故B正确； C、∵，， ∴且， ∴且， ∴无解，故C错误； D、∵， ∴ ， ∴， ∴无解，故D错误； 故选：B． 【点睛】此题考查了解一元二次方程，二次根式的性质，解一元一次方程，正确掌握各知识点是解题的关键． 3．（2023·上海浦东新·统考二模）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】求出该方程根的判别式，即可进行判断． 【详解】解：∵， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了已知一元二次方程判别式判断根的情况，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 4．（2023春·上海·八年级期中）方程组解的情况是（    ） A．有两组不同的实数解 B．有两组相同的实数解 C．没有实数解 D．不能确定 【答案】A 【分析】方程②减去方程①得出，整理可得，求出，根据根的判别式得出方程有两个不相等的实数根，从而得出方程组有两组不相等的实数解． 【详解】解： 方程减去方程， 消去得：， 整理得：， ， ， 即方程有两个不相等的实数根， 所以方程组也有两组不相等的实数解， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次方程组和根的判别式，能得出关于x的一元二次方程是解此题的关键． 题型二、根据方程的根求参数 5．（2022秋·上海虹口·八年级校考期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(　　) A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义，以及一元二次方程根的判别式得出不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且，即， 解得且． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时