1.2 有理数（讲+练，12题型）-【题型分类归纳】2023-2024学年七年级数学上册同步讲与练（人教版）

1.2 有理数 一、有理数 1、有理数的概念 （1）整数：正整数、0、负整数统称为整数。 （2）分数：正分数、负分数统称分数。(有限小数与无限循环小数都是有理数。) （3）有理数：整数和分数统称为有理数。 2、分类 （1）按正、负性质分类 （2）按整数、分数分类 有理数 有理数 二、数轴 1、数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度（数轴的三要素）的一条直线。 2、数轴上的点与有理数的关系 （1）所有的有理数都可以在数轴上表示，数轴上的点与有理数是一一对应关系； （2）数轴上的点不都表示有理数，即，有理数与数轴上的点并不是一一对应关系。(如，数轴上的点π不是有理数) 3、数轴的三种应用 （1）比较大小：数轴上的任意两点，右边的数比左边的大； （2）求两点间的距离：两点在原点的同侧作减法，两侧作加法；（注意不带正、负号） （3）求中点x：两点相加除以2。 三、相反数 1、相反数的概念：像2和2.5和5这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数。一般地，和互为相反数。0的相反数是0。 2、相反数的性质：若与b互为相反数，则,即；反之，若，则与互为相反数。 四、绝对值 1、绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。 2、绝对值的相关性质 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。即 （1）如果, 那么; （2）如果, 那么0; （3）如果, 那么. 题型一 有理数的概念与分类 【例1】下列各组数中，全部都是有理数的是（ ） A．，， B．， C．， D． 【变式1-1】在“”中无理数有 个. 【变式1-2】给出下列各数：，，，，，其中分数的个数是，非正数的个数是，则 ． 【变式1-3】把下列各数填入表示它所在的数集的大括号： ，，，，，，，． 整数集合：______ ； 负分数集合：______ ； 正实数集合：______ ； 无理数集合：______ 【变式1-4】把以下各数填入相应的集合里：，，，，，，，，，，，． （1）正数集合：{ …}； （2）负数集合：{ …}； （3）正整数集合：{ …}； （4）负整数集合：{ …}； (5)非负数集合：{ …}． 题型二 数轴的三要素及其画法 【例2】下列说法中，错误的是（    ） A．数轴上的每一个点都表示一个有理数 B．任意一个有理数都可以用数轴上的点表示 C．在数轴上，确定单位长度时可根据需要恰当选取 D．在数轴上，与原点的距离是36.8的点有两个 【变式2-1】以下是四位同学画的数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】判断下列图中所画的数轴正确的个数是（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2-3】已知小红、小刚，小明、小颖四人自南向北依次站在同一直线上，如果把直线看作数轴，四人所在的位置如图所示，则下列描述不正确的是（    ）      A．数轴是以小明所在的位置为原点 B．数轴采用向北为正方向 C．小刚所在的位置对应的数有可能是 D．小颖和小红间的距离为7 【变式2-4】观察下列图形，指出哪条数轴画得正确，其余错在哪里？ 题型三 数轴上的点和有理数 【例3】在数轴上，如果点A所表示的数是，那么到点A的距离等于3个单位长度的点所表示的数是 ． 【变式3-1】下列说法： ①规定了原点、正方向的直线是数轴； ②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数； ③有理数在数轴上无法表示出来； ④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点 其中正确的是（　　） A．①②③④ B．②③④ C．③④ D．④ 【变式3-2】如图1，点A、B、C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，3，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度，点C对齐刻度，则数轴上点B所对应的数b为 ． 【变式3-3】请补全数轴，并用数轴上的点表示下列各数，然后按照由小到大的顺序用“”把它们连接起来． ，，－2.5，，－1． 【变式3-4】（1）请把下面不完整的数轴补充完整； （2）把下列各数：在数轴上表示出来； （3）将（2）中的数用“”连接起来． 题型四 数轴上的动点问题 【例4】一个点从数轴上表示的点开始，先向左移动5个单位长度，再向右移动10个单位长度，那么终点表示的数是（    ） A． B． C．3 D．2 【变式4-1】点A在数轴上距离原点3个单位长度，将点A沿着数轴向右移动2个单位长度得到点B，则点B表示的数是 ． 【变式4-2】等边在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和，若绕顶点按顺时针