精品解析：北京市中关村中学2024届高三上学期9月开学考试数学试题

北京市中关村中学高三年级9月开学考试数学试题 本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量，则 A. B. 2 C. 5 D. 50 4 已知，命题：，，则（ ） A. 是假命题，：， B. 是假命题，：， C. 是真命题，：， D. 是真命题，：， 5. 若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 6. 已知函数f(x)＝x＋＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是 A. B. C. 1 D. 2 7. 在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对边，若，，则的面积是（ ） A. 3 B. C. D. 8. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．若关于的方程，有三个不同的实数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. ． 9. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，给出下列四个结论： ①当点是中点时，直线平面； ②直线到平面的距离是； ③存在点，使得； ④面积最小值是． 其中所有正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. 若函数在上单调递增，则的取值范围是 A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 二项式的展开式中的常数项是______；二项式系数和是______． 12. 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称，点在角的终边上．若，则______． 13. 设是等差数列，且公差不为零，其前项和为，则“，”是“为递增数列”的______条件（填“充分不必要”，“必要而不充分”，“充要”或“既不充分也不必要”） 14. 设函数定义域为，满足，且当时，．______；若对任意，都有，则的取值范围是______． 15. 作单位圆的外切和内接正边形，记外切正边形周长的一半为，内接正边形周长的一半为.计算可得，其中是正边形的一条边所对圆心角的一半. 给出下列四个结论： ①；②； ③；④记，则，. 其中正确结论的序号是__________. 三、解答题：本大题共6小题，共85分． 16. 已知函数，其中，有如下三个条件：条件①；条件②；条件③．从以上三个条件中选择一个作为已知，求解下列问题． （1）求的单调递增区间； （2）若在区间上的最大值为1，求实数的取值范围． 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 17. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，，，，E为线段AD的中点.PE⊥底面ABCD，点F是棱PC的中点，平面BEF与棱PD相交于点G. （1）求证：； （2）若PC与AB所成的角为，求直线PB与平面BEF所成角的正弦值. 18. 我国脱贫攻坚战取得全面胜利，现行标准下农村贫困人口全部脱贫，消除了绝对贫困．为了解脱贫家庭人均年纯收入情况，某扶贫工作组对A，B两个地区2019年脱贫家庭进行简单随机抽样，共抽取500户家庭作为样本，获得数据如下表： A地区 B地区 2019年人均年纯收入超过10000元 100户 150户 2019年人均年纯收入未超过10000元 200户 50户 假设所有脱贫家庭的人均年纯收入是否超过10000元相互独立． （1）从A地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，估计该家庭2019年人均年纯收入超适10000元的概率； （2）在样本中，分别从A地区和B地区2019年脱贫家庭中各随机抽取1户，记X为这2户家庭中2019年人均年纯收入超过10000元的户数，求X的分布列和数学期望； （3）从样本中A地区的300户脱贫家庭中随机抽取4户，发现这4户家庭2020年人均年纯收入都超过10000元．根据这个结果，能否认为样本中A地区2020年人均年纯收入超过10000元的户数相比2019年有变化？请说明理由． 19. 已知函数． （1）当时，求的最值； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数存在两个极值点，求的取值范围． 20. 已知椭圆M：（a＞b＞0）过A（－2，0），B（0，1）两点． （1）求椭圆M的离心率； （2）设椭圆M的右顶点为C，点P在椭圆M上（P不与椭圆M的顶点重合），直线AB与直线CP交于点Q，直线BP交x轴