湖南省益阳市2023-2024学年高三上学期9月月考数学试题

益阳市2024届高三9月教学质量检测 数学 注意事项： 1.本试卷包括试题卷和答题卡两部分；试题卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟. 2.答题前，考生备必将自己的姓名、考号等填写在本试题卷和答题卡指定位置.请按答题卡的要求在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效. 3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，.则中的元素个数是（ ） A 0 B. 1 C. 2 D. 4 2. “”是“关于的一元二次方程有实数根”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知直线的倾斜角为，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则下列结论成立是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 最小值与最大值之和为0 D. 在上单调递增 5. 如图，在中，为上一点，，为上一点，，且，则的值为（ ） A B. C. D. 6. 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.若，则曲线在处的曲率是（ ） A. 0 B. C. 1 D. 7. 若，双曲线：与双曲线：的离心率分别为，，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 最大值为 D. 的最大值为 8. 给定事件，且，则下列结论：①若，且互斥，则不可能相互独立；②若，则互为对立事件；③若，则两两独立；④若，则相互独立.其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 设等差数列的前项和为，若，且，则（ ） A. B. C. D. 最大 10. 已知数据的平均数是，中位数为，方差为，极差为.由这组数据得到新数据，其中，则（ ） A. 新数据的平均数是 B. 新数据的中位数是 C. 新数据的方差是 D. 新数据的极差是 11. 已知函数，则（ ） A. 有两个零点 B. 直线与的图象有两个交点 C. 直线与的图象有四个交点 D. 存在两点，同时在的图象上 12. 在棱长为2的正方体中，，分别是线段，上的点，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积是 B. 线段的长的取值范围是 C. 若，分别是线段，的中点，则与平面所成的角为 D. 若，分别是线段，的中点，则与直线所成的角为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知，其中为虚数单位，则_______. 14. 在正四棱锥中，为侧棱上一点，，，若平面过且平行于底面，则截此棱锥所得棱台的体积为________. 15. 已知直线：与抛物线：交于，两个不同的点，为的中点，为的焦点，直线与轴交于点，则的取值范围是_______. 16. 将3个4cm×4cm的正方形都沿其中的一对邻边的中点剪开，每个正方形均分成两个部分，如图（1）所示，将这6个部分接于一个边长为的正六边形上，如图（2）所示.若将该平面图沿着正六边形的边折起，围成一个七面体，则该七面体的体积为________；若在该七面体内放置一个小球，则小球半径的最大值为_________cm. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知的内角，，的对边分别为，，，，且. （1）求； （2）求面积的最大值. 18. 已知各项均为正数的数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，若，求满足条件的最小正整数. 19. 某公司生产一种电子产品，每批产品进入市场之前，需要对其进行检测，现从某批产品中随机抽取9箱进行检测，其中有5箱为一等品. （1）若从这9箱产品中随机抽取3箱，求至少有2箱是一等品的概率； （2）若从这9箱产品中随机抽取3箱，记表示抽到一等品的箱数，求的分布列和期望. 20. 如图，在三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，，点在侧棱上，且. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值. 21. 已知椭圆：经过，两点，过的左焦点作一条直线交于，两点，点位于轴的正半轴上，连接，并延长交直线于，两点，若. （1）求椭圆的方程； （2）确定点的坐标. 22. 已知函数. （1）当时，确定函数的零点个数； （2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围； （3）若，