重难点专题11 导数解答题之零点问题八大题型汇总-【划重点】备战2024年高考数学重难点题型突破（新高考通用）

重难点专题11导数解答题之零点问题八大题型汇总 题型1一个零点问题 1 题型2两个零点问题 2 题型3三个零点问题 3 题型4判断零点个数 4 题型5最值函数的零点问题 5 题型6同构法解零点问题 6 题型7零点差问题 7 题型8割线法切线法与零点 8 题型1一个零点问题 【例题1】（2024秋·重庆·高三校联考阶段练习）已知函数. (1)讨论的单调性; (2)若函数在区间上恰有一个零点，求的取值范围. 【变式1-1】1. （2023·河北保定·河北省唐县第一中学校考二模）已知函数，其中常数，是自然对数的底数． (1)若，求的最小值； (2)若函数恰有一个零点，求a的值． 【变式1-1】2. （2023秋·江西·高三统考开学考试）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在上仅一个零点，求的取值范围. 【变式1-1】3. （2023春·江西赣州·高三校联考阶段练习）已知函数． (1)当时，若的最小值为，求实数的值； (2)若存在，使得函数恰有一个零点，求实数的取值范围． 【变式1-1】4. （2023·河南开封·统考模拟预测）已知函数． (1)若函数的图象与直线相切，求实数的值； (2)若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围． 题型2两个零点问题 【例题2】（2023秋·全国·高三校联考阶段练习）已知函数（）． (1)若在上恒成立，求a的取值范围： (2)设，，为函数的两个零点，证明：． 【变式2-1】1. （2023秋·湖南长沙·高三长郡中学校联考阶段练习）证明下面两题： (1)证明：当时，； (2)当时，证明函数有2个不同零点. 【变式2-1】2. （2022秋·广东东莞·高三校考阶段练习）已知函数． (1)若，求函数的单调区间及极值； (2)若函数有且仅有两个零点，求实数的取值范围． 【变式2-1】3. （2023秋·贵州贵阳·高三贵阳一中校考开学考试）已知函数，. (1)若函数在处的切线的斜率为，求实数a的值（e是自然对数的底数）； (2)若函数有且仅有两个零点，求实数a的取值范围. 【变式2-1】4. （2023秋·安徽合肥·高三合肥一中校联考开学考试）已知函数（是自然对数的底数）. (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个零点，求实数的取值范围. 题型3三个零点问题 【例题3】（2023春·重庆九龙坡·高三重庆市育才中学校考开学考试）已知且. (1)试讨论函数的单调性； (2)当时，若有三个零点. ①求的范围； ②设，求证：. 【变式3-1】1. （2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）设函数，其中. (1)若，求不等式的解集； (2)求证：，函数有三个零点，，，且，，成等比数列. 【变式3-1】2. （2023秋·重庆·高三重庆一中校考开学考试）设函数，，，且有唯一零点. (1)求a的取值范围； (2)证明：存在三个零点； (3)记的零点为p，最小的零点为q，证明：，其中e是自然对数的底数. 【变式3-1】3. （2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）已知函数有三个零点. (1)求的取值范围； (2)设函数的三个零点由小到大依次是.证明：. 【变式3-1】4. （2023·广东深圳·校考二模）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)①当时，试证明函数恰有三个零点； ②记①中的三个零点分别为，，，且，试证明. 题型4判断零点个数 【例题4】（2022秋·广东珠海·高三珠海市第一中学校考阶段练习）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，判断函数的零点个数. 【变式4-1】1. （2023秋·广东·高三校联考阶段练习）已知曲线C： (1)若曲线C过点，求曲线C在点P处的切线方程； (2)当时，求在上的值域； (3)若，讨论的零点个数． 【变式4-1】2. （2023·四川成都·校联考模拟预测）设函数． (1)求的单调区间； (2)设函数，求在的零点个数． 【变式4-1】3. （2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨德强学校校考开学考试）已知函数，其中． (1)讨论函数零点个数； (2)求证：． 【变式4-1】4. （2023·河南·统考模拟预测）设函数. (1)当时，讨论函数的单调性； (2)当时，判断函数的零点个数，并说明理由. 题型5最值函数的零点问题 【例题5】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，． (1)若直线与曲线相切，求a的值； (2)用表示m，n中的最小值，讨论函数的零点个数． 【变式5-1】1. （2021秋·广东深圳·高三红岭中学校考期末）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)①证明函数（为自然对数的底数）在区间内有唯一的零点； ②设①中函数的零点为，记（其中表示中的较小值），若在区间内有两个不相等的实数根，证明：. 【变式